27 Sua xícara de chá de 200 g está fervendo. Sobre quanto gelo deve você adiciona para reduzi-lo a uma temperatura confortável de beber de 65^{\circ} \mathrm{C} ? (Assumir que o gelo está inicialmente a -15^{\circ} \mathrm{C}. A capacidade térmica específica do gelo é 0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{oC}.)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo listado explicitamente):
  • Massa do chá (água quente): m_{w}=200\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do chá: T_{w,i}=100^\circ\mathrm{C} (fervendo).
  • Temperatura final desejada: T_{f}=65^\circ\mathrm{C}.
  • Gelo inicialmente a: T_{g,i}=-15^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do gelo (dado): c_{\text{gelo}}=0,5\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • Valor necessário que não está no enunciado mas é padrão nessas questões:
    • Calor específico da água líquida: c_{w}=1,0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
    • Calor latente de fusão do gelo (fusão \mathrm{(sólido\to líquido)}óí): L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Pressuposição física usada: sistema isolado (todo o calor perdido pelo chá é ganho pelo gelo; despreza-se perda para o ar, xícara, etc.).
O que se pede:
  • Determinar a massa de gelo m_{\text{gelo}} que deve ser adicionada para que a mistura termine a 65^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática e exemplos pequenos):
  • Calor trocado por aquecer ou resfriar uma substância sem mudança de fase:
    Q = m\,c\,\Delta T,
    onde:
    • Q é a quantidade de calor (em calorias, aqui),
    • m é a massa (em gramas),
    • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}),
    • \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} é a variação de temperatura em ^\circ\mathrm{C}.
    Exemplo rápido: aquecer 10\\ \mathrm{g} de água de 20^\circ\mathrm{C} até 30^\circ\mathrm{C} exige
    Q=10\cdot1\cdot(30-20)=100\\ \mathrm{cal}.
  • Calor necessário para mudança de fase (fusão do gelo):
    Q_{\text{fusion}} = m\,L_f,
    onde L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}). Esse calor não altera a temperatura enquanto a mudança de fase ocorre.
  • Conservação de energia (na aproximação sem perdas):
    \text{Calor perdido pela água quente} = \text{Calor ganho pelo gelo (aquecimento + fusão + aquecimento do líquido resultante)}.áãí
    Vou aplicar essa igualdade para montar a equação que determina m_{\text{gelo}}.

Passo 3

Calor perdido pela água quente ao esfriar de 100^\circ\mathrm{C} para 65^\circ\mathrm{C}.
Usando Q = m_{w} c_{w} (T_{w,i}-T_{f}):
Q_{\text{água}} = m_{w}\,c_{w}\,(T_{w,i}-T_{f}).á
Substituindo os valores (tudo em TeX):
Q_{\text{água}} = 200\cdot 1{,}0\cdot(100-65)=200\cdot 35=7000\\ \mathrm{cal}.á

Passo 4

Calor necessário para o gelo, em três etapas:
  1. Aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{1}=m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-15))=m_{\text{gelo}}\cdot 0{,}5\cdot 15.
  1. Fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{2}=m_{\text{gelo}}\,L_f = m_{\text{gelo}}\cdot 80.
  1. Aquecer a água resultante da fusão de 0^\circ\mathrm{C} até 65^\circ\mathrm{C}:
Q_{3}=m_{\text{gelo}}\,c_{w}\,(65-0)=m_{\text{gelo}}\cdot 1{,}0\cdot 65.
Agora calcule cada coeficiente numérico (para somar depois):
  • Em Q_{1}: 0{,}5\cdot 15 = 7{,}5\\ \mathrm{cal/g}.
  • Em Q_{2}: 80\\ \mathrm{cal/g}.
  • Em Q_{3}: 1{,}0\cdot 65 = 65\\ \mathrm{cal/g}.
Portanto o calor total ganho pelo gelo por grama é
q_{\text{por g}} = 7{,}5 + 80 + 65 = 152{,}5\\ \mathrm{cal/g}.
Ou seja,
Q_{\text{gelo}} = m_{\text{gelo}}\cdot 152{,}5.

Passo 5

Igualando calor perdido e ganho (conservação de energia):
Q_{\text{água}} = Q_{\text{gelo}} \quad\Rightarrow\quad 7000 = m_{\text{gelo}}\cdot 152{,}5.á
Isolando m_{\text{gelo}}:
m_{\text{gelo}} = \dfrac{7000}{152{,}5}.

Passo 6

Fazendo a divisão (conta passo a passo sem calculadora complicada):
Multiplicando numerador e denominador por 2 para remover a vírgula:
m_{\text{gelo}} = \dfrac{14000}{305}.
Agora dividindo:
305\times 45 = 13725,\qquad 305\times 46 = 14030.
Logo o valor está entre 45 e 46; fazendo a divisão dá aproximadamente
m_{\text{gelo}} \approx 45{,}9016\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma prática para a precisão razoável do problema:
m_{\text{gelo}} \approx 45{,}9\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Comentário final e física prática (rápido e motivador):
  • Resultado: cerca de 46\\ \mathrm{g} de gelo. Isso é pouco — uma peça de gelo média já basta.
  • Observações que podem aparecer numa prova: se houvesse perda de calor para a xícara ou para o ar, seria preciso um pouco mais de gelo; aqui assumimos isolado.
  • Bom trabalho! Mesmo sem ter estudado muito antes, você acompanhou todos os passos de calorimetria — isso resolve muitas questões de termodinâmica básica.

Resposta

m_{\text{gelo}} \approx 45{,}9\\ \mathrm{g}

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