Seja f(x) uma função analítica. Então f(x) pode ser escrita em série de Taylor em torno de x=x0 como
f(x)=sumn=0^infty 1n! d^n f(x)d x^n|x=x0(x-x0)^n
Mostre também que:
d e^alpha xd x=alpha e^alpha x,
onde alpha é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma função analítica $ f(x) $ pode ser escrita como uma série de Taylor em torno de $ x = x_0 $ e também para provar que a derivada de $ e^{\alpha x} $ em relação a $ x $ é $ \alpha e^{\alpha x} $, onde $ \alpha $ é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como calcular derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a série de Taylor. Uma função analítica é uma função que pode ser expressa como uma série infinita de potências em torno de um ponto $ x_0 $. A fórmula geral da série de Taylor é:
x0
Aqui, $ f^{(n)}(x_0) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ x_0 $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos usar essa definição para escrever $ f(x) $ como uma série de Taylor em torno de $ x = x_0 $. Substituindo na fórmula, temos:
f(x)
E isso exatamente mostra que $ f(x) $ pode ser expresso como uma série de Taylor ao redor de $ x_0 $.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: provar que $ \frac{d e^{\alpha x}}{d x} = \alpha e^{\alpha x} $. Para isso, lembremos que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ \frac{du}{dx} e^{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $.
No nosso caso, $ u = \alpha x $, então:
d e^alpha xd x = alpha e^alpha x
Aplicando a regra da cadeia:
e^u

Resposta

Assim, mostramos que uma função analítica $ f(x) $ pode ser escrita como uma série de Taylor em torno de $ x = x_0 $ e que $ \frac{d e^{\alpha x}}{d x} = \alpha e^{\alpha x} $.

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