Seja uma função analítica. Então pode ser escrita em série de Taylor em torno de como
A partir dos resultados anteriores, mostre que e^i x=cos (x)+i sin (x).
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-la. O enunciado fala sobre funções analíticas e suas séries de Taylor. Basicamente, uma função analítica pode ser expressa como uma soma infinita de termos envolvendo derivadas dessa função. Nosso objetivo é usar essa ideia para mostrar que $ e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x) $. Para isso, vamos precisar entender o que são as séries de Taylor e conhecer as séries de $ e^{x} $, $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função exponencial $ e^{x} $. A série de Taylor de $ e^{x} $ em torno de $ x = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
e^x
Isso significa que podemos escrever $ e^{x} $ como a soma de $ x $ elevado a cada potência, dividido pelo fatorial dessa potência.
Passo 3
Agora, substituímos $ x $ por $ i x $ na série de Taylor de $ e^{x} $. Assim, temos:
x
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^{2} = -1 $.
Passo 4
Vamos expandir essa série para alguns termos para entender o padrão:
e^i x = 1 + i x + (i x)^22! + (i x)^33! + (i x)^44! + cdots
Calculando cada termo:
= 1 + i x + (i^2 x^2)2! + (i^3 x^3)3! + (i^4 x^4)4! + cdots
Sabemos que:
i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, e assim por diante
Passo 5
Substituindo os valores de $ i^{n} $:
i^n
Agora, vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
= 1 + i x - x^22! - i x^33! + x^44! + i x^55! - cdots
Passo 6
Reconhecemos que as séries dentro dos parênteses são exatamente as séries de Taylor para $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $: