Utilizando o sistema massa-mola como modelo, discuta sobre as principais diferenças nas hipóteses sobre este sistema para que o movimento seja descrito por um:
oscilador harmônico simples;
oscilador harmônico simples;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema massa-mola e discutir quais são as principais diferenças nas hipóteses adotadas para que o movimento desse sistema seja descrito por um oscilador harmônico simples. Então, vamos precisar entender o que é um sistema massa-mola e o que caracteriza um oscilador harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, o sistema massa-mola é simplesmente uma massa conectada a uma mola. Quando a massa é puxada ou empurrada e depois solta, ela oscila para frente e para trás. Agora, para que esse movimento seja considerado um oscilador harmônico simples, algumas condições precisam ser atendidas.
Passo 3
A primeira hipótese é que a mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio e atua na direção oposta. Matematicamente, isso é representado por:
onde $ F $ é a força, $ k $ é a constante da mola, e $ x $ é o deslocamento.
Passo 4
Outra hipótese importante é que não há atrito ou qualquer tipo de resistência ao movimento. Isso significa que não perdemos energia durante as oscilações, o que mantém o movimento contínuo. Em situações reais, sempre há alguma resistência, mas para o modelo ideal do oscilador harmônico simples, ignoramos isso.
Passo 5
Também assumimos que a massa do objeto não afeta a constante da mola e que a massa é concentrada em um ponto. Isso simplifica a análise, pois não precisamos considerar distribuição de massa ou mudanças na constante da mola com diferentes massas.
Passo 6
Além disso, o deslocamento $ x $ deve ser pequeno o suficiente para que a força da mola continue sendo diretamente proporcional ao deslocamento. Se o deslocamento for muito grande, a relação pode deixar de ser linear, e o sistema não se comportará mais como um oscilador harmônico simples.
Passo 7
Com todas essas hipóteses, conseguimos descrever o movimento do sistema massa-mola usando uma equação diferencial simples:
Essa equação caracteriza o movimento harmônico simples, onde $ m $ é a massa e $ k $ é a constante da mola.
Resposta
Então, resumindo, para que o sistema massa-mola seja descrito por um oscilador harmônico simples, assumimos que a mola segue a Lei de Hooke ($ F = -k x $), que não há atrito ou resistência, que a massa está concentrada em um ponto e que os deslocamentos são pequenos o suficiente para manter a proporcionalidade linear. Com essas hipóteses, conseguimos modelar o movimento como harmônico simples usando a equação $ m \frac{d2x}{dt2} + k x = 0 $.