Seja a função
A função f(x, y)=ccc(x^2+y^2) sin 1x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) é diferenciável em f(x, y) ? Justifique sua resposta;

Passo 1

A questão pede para verificar se a função
f(x, y)= (x^2+y^2)sin1x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). Vamos usar conceitos de derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade em R^2.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais em (0,0), lembramos que
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=h^2sin1h^2, temos
$$
\frac{f(h,0)-0}{h}=h\sin\frac{1}{h^{2}}.$$
E como f(h,0)-0h=hsin1h^2, segue que |hsin(1/h^2)|<=|h|to0.

Passo 3

De modo análogo,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=ksin1k^2to0
Portanto as duas derivadas parciais em (0,0) valem zero, definindo o mapeamento linear
L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0

Passo 4

O critério de diferenciabilidade diz que
f(h,k)=f(0,0)+L(h,k)+R(h,k),
com
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0
Aqui R(h,k)=f(h,k)-0.

Passo 5

Vamos verificar
R(h,k)raizh^2+k^2=(h^2+k^2)sin1h^2+k^2raizh^2+k^2=raizh^2+k^2;sin1h^2+k^2
Como |sin(1/(h^2+k^2))|<=1, isso fica limitado por raizh^2+k^2, que vai a zero quando (h,k)to(0,0). Logo
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0,
confirmando a diferenciabilidade.

Passo 6

Já que as derivadas parciais existem e o resto R(h,k) é de ordem menor que raizh^2+k^2, concluímos que f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa nulo.

Resposta

Sim. A função é diferenciável em (0,0) e seu diferencial (gradiente) é (0,0).

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