Seja a função
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta;
A função
Passo 1
A questão pede para verificar se a função
é diferenciável em (0,0). Vamos usar conceitos de derivadas parciais e o critério de diferenciabilidade em
.
Passo 2
Para achar as derivadas parciais em (0,0), lembramos que
Como
$$
\frac{f(h,0)-0}{h}=h\sin\frac{1}{h^{2}}.$$
E como , segue que
.
E como
Passo 3
De modo análogo,
Portanto as duas derivadas parciais em (0,0) valem zero, definindo o mapeamento linear
Passo 4
O critério de diferenciabilidade diz que
com
Aqui
.
Passo 5
Vamos verificar
Como
, isso fica limitado por
, que vai a zero quando
. Logo
confirmando a diferenciabilidade.
Passo 6
Já que as derivadas parciais existem e o resto
é de ordem menor que
, concluímos que
é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa nulo.
Resposta
Sim. A função é diferenciável em (0,0) e seu diferencial (gradiente) é
.