Seja uma função de classe e a esfera definida como .
(1,5 ponto) a) Seja . Ache os valores de máximo e de mínimo de , ou seja, de na esfera. ponto) b) Seja , em que . Mostre que os valores que correspondem ao máximo e ao mínimo de em são autovetores da matriz
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de uma função f sujeita à restrição de pertencer à esfera
S^2 = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2=1,
usando o método dos multiplicadores de Lagrange. No item (a) f(x,y,z)=x+y+z. No item (b)
f(x,y,z)=a x^2+e y^2+g z^2+2bxy+2cxz+2fyz,
que pode ser escrito como f(x)=x^T A x com
A = a & b & c b & e & f c & f & g
Passo 2
Para (a), definimos a função de restrição
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
Calculamos os gradientes
nabla f(x,y,z) = (1,1,1),
nabla g(x,y,z) = (2x,2y,2z)
Pelo método de Lagrange, impomos
nabla f = lambda,nabla g Longrightarrow (1,1,1) = lambda,(2x,2y,2z)
Passo 3
Da igualdade componente a componente segue
1 = 2lambda x, 1 = 2lambda y, 1 = 2lambda z Longrightarrow x=y=z=12lambda
Para (b), note que f(x)=x^T A x com A simétrica. Calculamos
nabla f(x) = 2A x,
nabla g(x) = 2x,
e a condição de Lagrange nabla f = lambda,nabla g leva a
2A x = lambda,2x Longrightarrow A x = lambda,x
Passo 5
A relação A x = lambda x mostra que qualquer ponto (x,y,z)in S^2 onde f atinge máximo ou mínimo é autovetor de A. Os valores de lambda correspondem aos valores extremos de f.
Resposta
(a) O máximo de f em S^2 é raiz3 obtido em tfrac1raiz3(1,1,1); o mínimo é -raiz3 obtido em -tfrac1raiz3(1,1,1).
(b) Os pontos de máximo e mínimo de f em S^2 satisfazem A x = lambda x, logo são autovetores da matriz