Seja f: R^3 R uma função de classe C^1 e S^2 a esfera definida como S^2:=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2=1.
(1,5 ponto) a) Seja f(x, y, z)=x+y+z. Ache os valores de máximo e de mínimo de f|S^2, ou seja, de f na esfera.
(1,0 ponto) b) Seja f(x, y, z)=a x^2+e y^2+g z^2+2 b x y+2 c x z+2 f y z, em que a, b, c, d, e, f, g in R. Mostre que os valores (x, y, z) in R^3 que correspondem ao máximo e ao mínimo de f em S^2 são autovetores da matriz
(lll a & b & c b & e & f c & f & g )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de uma função f sujeita à restrição de pertencer à esfera
S^2 = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2=1,
usando o método dos multiplicadores de Lagrange. No item (a) f(x,y,z)=x+y+z. No item (b)
f(x,y,z)=a x^2+e y^2+g z^2+2bxy+2cxz+2fyz,
que pode ser escrito como f(x)=x^T A x com
A = a & b & c b & e & f c & f & g

Passo 2

Para (a), definimos a função de restrição
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
Calculamos os gradientes
nabla f(x,y,z) = (1,1,1),
nabla g(x,y,z) = (2x,2y,2z)
Pelo método de Lagrange, impomos
nabla f = lambda,nabla g Longrightarrow (1,1,1) = lambda,(2x,2y,2z)

Passo 3

Da igualdade componente a componente segue
1 = 2lambda x, 1 = 2lambda y, 1 = 2lambda z Longrightarrow x=y=z=12lambda
Como (x,y,z)in S^2, temos
3l(tfrac12lambdar)^2 = 1 Longrightarrow lambda = pm raiz32
Logo os pontos críticos são
(x,y,z) = 1raiz3(1,1,1) e (x,y,z) = -1raiz3(1,1,1)
Os valores de f nesses pontos são
fl(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) =raiz3, fl(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) =-raiz3

Passo 4

Para (b), note que f(x)=x^T A x com A simétrica. Calculamos
nabla f(x) = 2A x,
nabla g(x) = 2x,
e a condição de Lagrange nabla f = lambda,nabla g leva a
2A x = lambda,2x Longrightarrow A x = lambda,x

Passo 5

A relação A x = lambda x mostra que qualquer ponto (x,y,z)in S^2 onde f atinge máximo ou mínimo é autovetor de A. Os valores de lambda correspondem aos valores extremos de f.

Resposta

(a) O máximo de f em S^2 é raiz3 obtido em tfrac1raiz3(1,1,1); o mínimo é -raiz3 obtido em -tfrac1raiz3(1,1,1).
(b) Os pontos de máximo e mínimo de f em S^2 satisfazem A x = lambda x, logo são autovetores da matriz
a & b & c b & e & f c & f & g

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