Seja z=z(x, y) é uma função nas variáveis x e y, dada implicitamente pela equação F(x, y, z)=0, onde F é uma função nas variáveis x, y e z diferenciável e sejam ( x0, y0 ) um ponto no qual a função z é diferenciável e z0=z(x0, y0).
Escreva o vetor nabla F(x0, y0, z0).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor gradiente de uma função F(x,y,z) avaliada em (x₀,y₀,z₀), onde z=z(x,y) está definida implicitamente por F(x,y,z)=0.

Passo 2

Sabendo que o gradiente de uma função F(x,y,z) em um ponto é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de F em relação a x, y e z naquele ponto.

Passo 3

Portanto, basta calcular as derivadas parciais ∂F/∂x, ∂F/∂y e ∂F/∂z e avaliá-las em (x₀,y₀,z₀).

Resposta

nabla F(x0,y0,z0)=(partial Fpartial x(x0,y0,z0),,partial Fpartial y(x0,y0,z0),,partial Fpartial z(x0,y0,z0))

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