Seja
um polinômio tal que
. Estime a variação,
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
tal que
. Pede para estimar a variação
no intervalo
(ou seja,
e
).
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
(derivada no ponto ); - queremos estimar
; - não foi dada informação explícita sobre
ou valores de em outros pontos.
Passo 2
Ideia usada: para uma função diferenciável, em intervalos pequenos a variação pode ser bem aproximada pela aproximação linear (diferencial) ou justificada pelo Teorema do Valor Médio. Vou explicar os dois e depois dar uma estimativa numérica concreta.
Breve explicação do conceito de derivada usado aqui:
- A derivada
representa a taxa instantânea de variação de em . Se muda um pequeno , a variação de é aproximadamente . - A aproximação linear (diferencial) diz que, para
pequeno,
Isso é a base do cálculo de variações rápidas sem conhecer a função inteira.
Passo 3
Calcule a largura do intervalo:
Passo 4
Aplicando a aproximação linear em torno de
:
Subtraindo essas duas aproximações obtemos a aproximação para a variação:
Substituindo
e
:
Comentário intuitivo: a derivada em
diz que, perto de
, a função cresce cerca de
unidades de
para cada unidade de
. Como
aumenta
ao passar de
a
, a variação estimada é
.
Passo 5
Justificação mais rigorosa (Teorema do Valor Médio): como
é polinômio (logo diferenciável), existe
tal que
Portanto a variação exata é
. Sabendo que
e que
está muito próximo de
, é natural que
seja próximo de
, justificando a aproximação
.
Passo 6
Estimativa do erro da aproximação (controle do resto) usando Taylor com resto em forma de Lagrange. Para cada ponto existe
entre
e
e
entre
e
tais que
Subtraindo:
Se definir
, então o termo de erro
satisfaz
Agora calcule os quadrados:
Soma
. Assim
Conclusão: a estimativa é
ou seja a aproximação
é muito precisa desde que
não seja enorme.
Passo 7
Interpretação prática e exemplos numéricos: se, por exemplo,
for tal que
(uma hipótese razoável para um polinômio de coeficientes moderados), então
logo
. Se
, então
e
(ou seja, praticamente
). Assim, sem informação extra sobre
a melhor estimativa central é
, com o erro controlado pela quantidade
.
Passo 8
Resumo prático (como usar isso na prova): quando der
e um intervalo pequeno à volta de
, use a aproximação linear
e, se for pedido justificar rigorosamente ou estimar erro, use Taylor com resto ou o Teorema do Valor Médio e um limite para
no intervalo.