Seja p(x) um polinômio tal que p^{\prime}(1)=10. Estime a variação, \Delta p=p(b)-p(a) no intervalo [a, b]=[0.98,1.03].

Passo 1

O enunciado dá um polinômio p(x) tal que p'(1)=10. Pede para estimar a variação
\Delta p = p(b)-p(a)
no intervalo [a,b]=[0,98,\,1,03] (ou seja, a=0,98 e b=1,03).
Informações relevantes listadas:
  • p'(1)=10 (derivada no ponto x=1);
  • queremos estimar \Delta p=p(1,03)-p(0,98);
  • não foi dada informação explícita sobre p'' ou valores de p em outros pontos.

Passo 2

Ideia usada: para uma função diferenciável, em intervalos pequenos a variação pode ser bem aproximada pela aproximação linear (diferencial) ou justificada pelo Teorema do Valor Médio. Vou explicar os dois e depois dar uma estimativa numérica concreta.
Breve explicação do conceito de derivada usado aqui:
  • A derivada p'(x) representa a taxa instantânea de variação de p em x. Se x muda um pequeno \Delta x, a variação de p é aproximadamente p'(x)\,\Delta x.
  • A aproximação linear (diferencial) diz que, para \Delta x pequeno,
p(x+\Delta x)\approx p(x) + p'(x)\,\Delta x.
Isso é a base do cálculo de variações rápidas sem conhecer a função inteira.

Passo 3

Calcule a largura do intervalo:
\Delta x = b-a = 1,03 - 0,98 = 0,05.

Passo 4

Aplicando a aproximação linear em torno de x=1:
p(b) \approx p(1) + p'(1)\,(b-1),\qquad p(a) \approx p(1) + p'(1)\,(a-1).
Subtraindo essas duas aproximações obtemos a aproximação para a variação:
\Delta p = p(b)-p(a) \approx p'(1)\bigl((b-1)-(a-1)\bigr) = p'(1)(b-a).
Substituindo p'(1)=10 e \Delta x=0,05:
\Delta p \approx 10\cdot 0,05 = 0,5.
Comentário intuitivo: a derivada em 1 diz que, perto de 1, a função cresce cerca de 10 unidades de p para cada unidade de x. Como x aumenta 0,05 ao passar de 0,98 a 1,03, a variação estimada é 10\times0,05=0,5.

Passo 5

Justificação mais rigorosa (Teorema do Valor Médio): como p é polinômio (logo diferenciável), existe c\in(0,98,\,1,03) tal que
\Delta p = p(b)-p(a) = p'\text{(c)}\,(b-a).
Portanto a variação exata é p'\text{(c)}\cdot 0,05. Sabendo que p'(1)=10 e que c está muito próximo de 1, é natural que p'\text{(c)} seja próximo de 10, justificando a aproximação \Delta p\approx0,5.

Passo 6

Estimativa do erro da aproximação (controle do resto) usando Taylor com resto em forma de Lagrange. Para cada ponto existe \xi_b entre 1 e b e \xi_a entre a e 1 tais que
p(b)=p(1)+p'(1)(b-1)+\tfrac{1}{2}p''(\xi_b)(b-1)^2,
p(a)=p(1)+p'(1)(a-1)+\tfrac{1}{2}p''(\xi_a)(a-1)^2.
Subtraindo:
\Delta p = p'(1)(b-a) + \tfrac{1}{2}\bigl(p''(\xi_b)(b-1)^2 - p''(\xi_a)(a-1)^2\bigr).
Se definir M=\max_{x\in[0,98,\,1,03]}|p''(x)|, então o termo de erro R satisfaz
|R| \le \tfrac{1}{2}M\bigl((b-1)^2 + (a-1)^2\bigr).
Agora calcule os quadrados:
(b-1)^2 = (0,03)^2 = 0,0009,\qquad (a-1)^2 = (-0,02)^2 = 0,0004.
Soma =0,0013. Assim
|R| \le \tfrac{1}{2}M\cdot 0,0013 = 0,00065\,M.
Conclusão: a estimativa é
\Delta p = 0,5 + R,\qquad |R|\le 0,00065\,M,
ou seja a aproximação 0,5 é muito precisa desde que M não seja enorme.

Passo 7

Interpretação prática e exemplos numéricos: se, por exemplo, p''(x) for tal que M\le 100 (uma hipótese razoável para um polinômio de coeficientes moderados), então
|R|\le 0,00065\times 100 = 0,065,
logo \Delta p\in[0,435,\,0,565]. Se M\le 10, então |R|\le 0,0065 e \Delta p\in[0,4935,\,0,5065] (ou seja, praticamente 0,5). Assim, sem informação extra sobre p'' a melhor estimativa central é \Delta p\approx0,5, com o erro controlado pela quantidade 0,00065\,M.

Passo 8

Resumo prático (como usar isso na prova): quando der p'(x_0) e um intervalo pequeno à volta de x_0, use a aproximação linear
\Delta p \approx p'(x_0)\,(b-a),
e, se for pedido justificar rigorosamente ou estimar erro, use Taylor com resto ou o Teorema do Valor Médio e um limite para p'' no intervalo.

Resposta

\Delta p \approx 0,5

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