Seja z=f(x, y) uma função contínua sobre o retângulo [a, b] times[c, d] e g(x, y)=integrala^x integralb^y f(s, t) d t d s, para a<x<b e c<y<d. Mostre que gx y=gy x=f(x, y).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função contínua z = f(x, y) definida sobre um retângulo [a, b] times [c, d]. Definimos uma nova função g(x, y) que é uma integral dupla de f(s, t) com limites de integração de a até x e de c até y . Nosso objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas de g , ou seja, gxy e gyx , são iguais a f(x, y) . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função g(x, y) de forma mais clara:
g(x, y) = integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds
Isso significa que para cada ponto (x, y) dentro do retângulo, g(x, y) é a integral de f(s, t) primeiro em relação a t de c até y , e depois em relação a s de a até x .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de g em relação a x , isto é, gx . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é a função avaliada nesse limite. Então:
gx(x, y) = partialpartial x ( integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds ) = integralc^y f(x, t) , dt
Aqui, derivamos em relação a x , mantendo y constante, o que faz com que a integral interna, em t , seja avaliada em s = x .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de gx em relação a y , ou seja, gxy . Novamente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, dessa vez na integração em t com limite superior y :
gxy(x, y) = partialpartial y ( integralc^y f(x, t) , dt ) = f(x, y)
Isso significa que a derivada parcial mista gxy é igual à função f(x, y) .

Passo 5

Vamos também verificar a outra derivada parcial mista, gyx , para confirmar que ela também é igual a f(x, y) .
Primeiro, calculamos a derivada parcial de g em relação a y , ou seja, gy :
gy(x, y) = partialpartial y ( integrala^x integralc^y f(s, t) , dt , ds ) = integrala^x f(s, y) , ds
Aqui, derivamos com respeito a y na integral interna.
Agora, derivamos gy em relação a x :
gyx(x, y) = partialpartial x ( integrala^x f(s, y) , ds ) = f(x, y)
Assim, também temos gyx = f(x, y) .

Resposta

Portanto, mostramos que gxy = gyx = f(x, y) .

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