Seja
uma função contínua sobre o retângulo
e
, para
e
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função contínua
definida sobre um retângulo
. Definimos uma nova função
que é uma integral dupla de
com limites de integração de
até
e de
até
. Nosso objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas de
, ou seja,
e
, são iguais a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
de forma mais clara:
Isso significa que para cada ponto
dentro do retângulo,
é a integral de
primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de
até
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, isto é,
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior variável é a função avaliada nesse limite. Então:
Aqui, derivamos em relação a
, mantendo
constante, o que faz com que a integral interna, em
, seja avaliada em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, dessa vez na integração em
com limite superior
:
Isso significa que a derivada parcial mista
é igual à função
.
Passo 5
Vamos também verificar a outra derivada parcial mista,
, para confirmar que ela também é igual a
.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Aqui, derivamos com respeito a
na integral interna.
Agora, derivamos
em relação a
:
Assim, também temos
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.