I. Determine a equação geral da esfera de centro C e raio r :
a) C(1,2,3) e r=4
b) C(-3,1,2) e r=5
c) C(-1,2,-3) e r=raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação geral de uma esfera com um centro específico e um determinado raio. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais precisamente, a parte que trata das equações de esferas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de uma esfera. Se temos uma esfera com centro C(x0, y0, z0) e raio r , a equação geral dela é:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
Essa fórmula basicamente diz que qualquer ponto (x, y, z) que esteja na esfera satisfaz essa equação. Agora, vamos aplicar isso para cada caso dado no exercício.

a) C(1,2,3) e r = 4

Passo 3

Aqui, o centro da esfera é C(1,2,3) , então x0 = 1 , y0 = 2 e z0 = 3 . O raio r é 4.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da esfera:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 4^2

Passo 5

Calculando 4^2 :
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16

Passo 6

O centro é C(-3,1,2) , então x0 = -3 , y0 = 1 e z0 = 2 . O raio r é 5.

Passo 7

Substituindo na fórmula:
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 5^2

Passo 8

Calculando 5^2 :
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 25

Passo 9

O centro é C(-1,2,-3) , então x0 = -1 , y0 = 2 e z0 = -3 . O raio r é raiz3 .

Passo 10

Substituindo na fórmula:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = (raiz3)^2

Passo 11

Calculando (raiz3)^2 :
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 3

Resposta

A equação geral da esfera é:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 3

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