I. Determine a equação geral da esfera de centro
e raio
:
a)
e
b)
e
c)
e
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação geral de uma esfera com um centro específico e um determinado raio. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais precisamente, a parte que trata das equações de esferas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de uma esfera. Se temos uma esfera com centro
e raio
, a equação geral dela é:
Essa fórmula basicamente diz que qualquer ponto
que esteja na esfera satisfaz essa equação. Agora, vamos aplicar isso para cada caso dado no exercício.
a)
e
Passo 3
Aqui, o centro da esfera é
, então
,
e
. O raio
é 4.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da esfera:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
O centro é
, então
,
e
. O raio
é 5.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
O centro é
, então
,
e
. O raio
é
.
Passo 10
Substituindo na fórmula:
Passo 11
Calculando
:
Resposta
A equação geral da esfera é: