(a) z=x y, z=0, y=x, x=1

Passo 1

O enunciado pede o volume da região E no primeiro octante limitada pelas superfícies
z = x,y, z=0, y = x, x = 1
Este é um problema de cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Vamos projetar E no plano xy. No primeiro octante temos x>=0, y>=0. As fronteiras são y = 0 (plano coordenado), y = x e x = 1. Portanto, na projeção DsubsetR^2 vale
0<= y<= x, 0<= x<= 1

Passo 3

Em cada ponto (x,y)in D, z varia de z=0 até z = x,y. Assim o volume é
V=integral triplaEdV =integralx=0^1!integraly=0^x!integralz=0^x,ydz,dy,dx

Passo 4

Faço a integral em z primeiro:
integralz=0^x,ydz = x,y
Logo
V=integral0^1!integral0^xx,y,dy,dx

Passo 5

Agora integro em y:
integral0^xx,y,dy =xcdoty^22|0^x =xcdot x^22 =x^32
Assim
V=integral0^1x^32,dx

Passo 6

Por fim, integro em x:
integral0^1x^32,dx =12cdotx^44|0^1 =18

Resposta

O volume da região é 18

Exercícios relacionados