Seja a função f(x, y)= 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
É correto afirmar que as derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) não são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e pede para verificar se as derivadas parciais fx e fy são contínuas em (0,0). Vamos usar definição de derivada parcial, regra do quociente e limites.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente: se u(x,y)=2xy e v(x,y)=x^2+y^2, então
partial fpartial x=uxv-u vxv^2
onde
ux=2y, vx=2x. Logo
partial fpartial x(x,y)=2y(x^2+y^2)-2xycdot2x(x^2+y^2)^2= 2y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Usando simetria (troca x por y), obtemos
partial fpartial y(x,y)=2x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
e analogamente fy(0,0)=0.

Passo 5

Para testar continuidade de fx em (0,0) vemos se
fx(x,y)to fx(0,0)=0 quando (x,y)to(0,0). Pelo caminho y=kx temos
partial fpartial x(x,kx)=2kx(k^2x^2-x^2)(x^2+k^2x^2)^2 =2k(k^2-1)(1+k^2)^2cdot1x
Para kneqpm1 esse termo diverge quando xto0, então fx(x,y) não tende a 0.

Passo 6

Como não existe limite finito de fx(x,y) (e análogo ocorre com fy), concluímos que as derivadas parciais não são contínuas em (0,0).

Resposta

Sim. As derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).

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