Seja a função
É correto afirmar que as derivadas parciais
e
não são contínuas em
?
É correto afirmar que as derivadas parciais
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se as derivadas parciais
Passo 2
Para
aplicamos a regra do quociente: se
e
, então
onde
,
. Logo
Passo 3
Usando simetria (troca
por
), obtemos
Passo 4
No ponto
usamos a definição
e analogamente
.
Passo 5
Para testar continuidade de
em
vemos se
quando
. Pelo caminho
temos
Para
esse termo diverge quando
, então
não tende a 0.
Passo 6
Como não existe limite finito de
(e análogo ocorre com
), concluímos que as derivadas parciais não são contínuas em
.
Resposta
Sim. As derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0).