Seja a função f(x)=cos (9 x^5)
(a) Obtenha o polinômio de Taylor da função f de ordem 4 , ao redor de x0=0
P(x)=f(x0)+f^prime(x0)(x-x0)+f^prime prime(x0)2!(x-x0)^2+f^(3)(x0)3!(x-x0)^3+ldots+f^(n)(x0)n!(x-x0)^n

Passo 1

A função é f(x)= cos(9x^5). O conteúdo aqui é desenvolvimento em série de Taylor (Maclaurin) de ordem 4, e vamos precisar usar a expansão em série da função cos(u) em torno de u=0 e depois substituir u=9x^5.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin de cos(u) é
cos(u)=sumk=0^infty(-1)^k,u^2k(2k)!
Substituindo u=9x^5 na série acima, obtemos:
f(x)=cos(9x^5)=sumk=0^infty(-1)^k,(9x^5)^2k(2k)!=1-(9x^5)^22!+(9x^5)^44!-cdots=1-81x^102+cdots,

Passo 3

Nessa expansão o primeiro termo não-constante aparece em x^10, logo não há termos em x, x^2, x^3 ou x^4. Isso implica que todos os coeficientes f^(n)(0)/n! para 1<= n<=4 são zero.
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x0=0 é simplesmente a parte constante:
P4(x)=1

Resposta

P_4(x)=1

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