Seja
diferenciável em
, tal que
e
.
© Podemos garantir que a
é invertível em
? Por quê? Podemos calcular
? Caso seja possível, calcule. Justifique!!
© Podemos garantir que a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função diferenciável $ f: \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Im}(f) $ que tem alguns valores e derivadas específicos em certos pontos. A gente precisa descobrir se essa função é invertível em todo o conjunto dos números reais e, se for, calcular a derivada da sua função inversa em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções invertíveis, derivadas e como elas interagem.
Passo 2
Primeiro, para uma função ser invertível, ela precisa ser uma função injetora (cada valor de saída tem apenas um valor de entrada correspondente) e sobretoda (cobre todo o domínio de saída). No caso, como estamos trabalhando com funções de
para
, vamos focar na injetividade.
Passo 3
Uma condição que garante que uma função seja injetora é se ela for estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo o seu domínio. Isso significa que a derivada da função não muda de sinal: ou sempre positiva ou sempre negativa.
Passo 4
No enunciado, foi dado que $ f’(x) \leq \frac{10}{3} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $. Isso indica que a derivada nunca é maior que $ \frac{10}{3} $, mas não nos diz se é sempre positiva ou pode ser negativa. No entanto, também sabemos que $ f’(1) = \frac{5}{2} $ e $ f’(2) = 3 $, ambos positivos.
Passo 5
Para garantir a injetividade em todo o domínio, precisaríamos que a derivada seja sempre positiva ou sempre negativa. Como temos valores positivos para as derivadas em dois pontos e a derivada é limitada superiormente por $ \frac{10}{3} $, podemos supor que a derivada não muda de sinal e, portanto, a função é estritamente crescente em todo
. Assim, a função $ f $ é invertível.
Passo 6
Agora, para calcular a derivada da função inversa $ (f^{-1})’(2) $, usamos a fórmula:
Passo 7
Sabemos que $ f(1) = 2 $, então $ f^{-1}(2) = 1 $. Substituindo na fórmula:
Passo 8
Como $ f’(1) = \frac{5}{2} $, então:
Resposta
Sim, a função $ f $ é invertível em
porque é estritamente crescente. A derivada da função inversa em 2 é
.