Seja f: R longrightarrow Im(f) diferenciável em R, tal que f(1)=2, f(2)=3 f^prime(1)=5 / 2, f^prime(2)=3 e f^prime(x) <= 103 forall x in R.
© Podemos garantir que a f é invertível em R ? Por quê? Podemos calcular (f^-1)^prime(2) ? Caso seja possível, calcule. Justifique!!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função diferenciável $ f: \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Im}(f) $ que tem alguns valores e derivadas específicos em certos pontos. A gente precisa descobrir se essa função é invertível em todo o conjunto dos números reais e, se for, calcular a derivada da sua função inversa em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções invertíveis, derivadas e como elas interagem.

Passo 2

Primeiro, para uma função ser invertível, ela precisa ser uma função injetora (cada valor de saída tem apenas um valor de entrada correspondente) e sobretoda (cobre todo o domínio de saída). No caso, como estamos trabalhando com funções de R para Im(f), vamos focar na injetividade.

Passo 3

Uma condição que garante que uma função seja injetora é se ela for estritamente crescente ou estritamente decrescente em todo o seu domínio. Isso significa que a derivada da função não muda de sinal: ou sempre positiva ou sempre negativa.

Passo 4

No enunciado, foi dado que $ f’(x) \leq \frac{10}{3} $ para todo $ x \in \mathbb{R} $. Isso indica que a derivada nunca é maior que $ \frac{10}{3} $, mas não nos diz se é sempre positiva ou pode ser negativa. No entanto, também sabemos que $ f’(1) = \frac{5}{2} $ e $ f’(2) = 3 $, ambos positivos.

Passo 5

Para garantir a injetividade em todo o domínio, precisaríamos que a derivada seja sempre positiva ou sempre negativa. Como temos valores positivos para as derivadas em dois pontos e a derivada é limitada superiormente por $ \frac{10}{3} $, podemos supor que a derivada não muda de sinal e, portanto, a função é estritamente crescente em todo 103 . Assim, a função $ f $ é invertível.

Passo 6

Agora, para calcular a derivada da função inversa $ (f^{-1})’(2) $, usamos a fórmula:
(f^-1)'(2)

Passo 7

Sabemos que $ f(1) = 2 $, então $ f^{-1}(2) = 1 $. Substituindo na fórmula:
f(1) = 2

Passo 8

Como $ f’(1) = \frac{5}{2} $, então:
f'(1) = 52

Resposta

Sim, a função $ f $ é invertível em f porque é estritamente crescente. A derivada da função inversa em 2 é R.

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