Seja f: R R a função dada por f(x)=x^4-5 x^2+4.
a) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de f.
b) Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para baixo e os que é côncavo para cima.
c) Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de f.

Passo 1

Temos a função fcolonRtoR dada por
f(x)=x^4-5x^2+4
Queremos, usando derivadas, (a) achar os intervalos de crescimento e decrescimento de f; (b) achar os intervalos de concavidade para cima e para baixo; (c) com essas informações esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivadas, usando a regra do poder ( ddxx^n=nx^n-1):
f'(x)=4x^3-10x,
f''(x)=12x^2-10

Passo 3

Para os intervalos de crescimento/decrescimento, resolvemos f'(x)=0:
4x^3-10x=2x(2x^2-5)=0 Longrightarrow x=0, x=pmraiztfrac52
Fazendo a análise de sinal de f'(x):
- Se x< -raiztfrac52, então 2x<0 e 2x^2-5>0, logo f'(x)<0.
- Se -raiztfrac52<x<0, então 2x<0 e 2x^2-5<0, logo f'(x)>0.
- Se 0<x<raiztfrac52, então 2x>0 e 2x^2-5<0, logo f'(x)<0.
- Se x>raiztfrac52, então 2x>0 e 2x^2-5>0, logo f'(x)>0.
Concluímos:
crescimento em
l(-raiztfrac52,0r);cup;l(raiztfrac52,+inftyr),
decrescimento em
l(-infty,-raiztfrac52r);cup;l(0,raiztfrac52r)
Além disso, f(0)=4 é máximo local e
fl(pmraiztfrac52r) =l(tfrac52r)^2-5l(tfrac52r)+4 =-tfrac94
são mínimos locais.

Passo 4

Para concavidade, achamos pontos de inflexão com f''(x)=0:
12x^2-10=0 Longrightarrow x=pmraiztfrac56
Analisando o sinal de f''(x):
- Se |x|<raiztfrac56, então 12x^2-10<0, curva côncava para baixo.
- Se |x|>raiztfrac56, então 12x^2-10>0, curva côncava para cima.
Nesse pontos de inflexão,
fl(pmraiztfrac56r) =l(tfrac56r)^2-5l(tfrac56r)+4 =tfrac1936

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
- f é par, então simétrica em relação ao eixo y.
- Como xtopminfty, f(x)to+infty, é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo.
- Máximo local em (0,4). Mínimos locais em l(pmraiztfrac52,-tfrac94r).
- Pontos de inflexão em l(pmraiztfrac56,tfrac1936r).
- Entre -raiztfrac56 e raiztfrac56 a curva está côncava para baixo; fora desse intervalo, côncava para cima.
Assim, marcamos esses pontos no plano e ligamos suavemente respeitando os comportamentos de crescimento/decrescimento e concavidade.

Resposta

a) Cresce em l(-raiztfrac52,0r)cupl(raiztfrac52,+inftyr) e decresce em l(-infty,-raiztfrac52r)cupl(0,raiztfrac52r).
b) Côncavo para baixo em l(-raiztfrac56,raiztfrac56r) e côncavo para cima em l(-infty,-raiztfrac56r)cupl(raiztfrac56,+inftyr).
c) O gráfico é um “W” simétrico: máximo em (0,4), mínimos em l(pmraiztfrac52,-tfrac94r), inflexões em l(pmraiztfrac56,tfrac1936r), com as concavidades e monotonia indicadas acima.

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