Seja
a função dada por
.
a) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de
.
b) Determine os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para baixo e os que é côncavo para cima.
c) Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de
.
a) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de
b) Determine os intervalos em que o gráfico de
c) Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de
Passo 1
Temos a função
dada por
Queremos, usando derivadas, (a) achar os intervalos de crescimento e decrescimento de
; (b) achar os intervalos de concavidade para cima e para baixo; (c) com essas informações esboçar o gráfico de
.
Passo 2
Calculemos a primeira e a segunda derivadas, usando a regra do poder (
):
Passo 3
Para os intervalos de crescimento/decrescimento, resolvemos
:
Fazendo a análise de sinal de
:
- Se , então
e
, logo
.
- Se , então
e
, logo
.
- Se , então
e
, logo
.
- Se , então
e
, logo
.
Concluímos:
crescimento em
- Se
- Se
- Se
- Se
Concluímos:
crescimento em
decrescimento em
Além disso,
é máximo local e
são mínimos locais.
Passo 4
Para concavidade, achamos pontos de inflexão com
:
Analisando o sinal de
:
- Se , então
, curva côncava para baixo.
- Se , então
, curva côncava para cima.
Nesse pontos de inflexão,
- Se
- Se
Nesse pontos de inflexão,
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
- é par, então simétrica em relação ao eixo
.
- Como ,
, é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo.
- Máximo local em . Mínimos locais em
.
- Pontos de inflexão em .
- Entre e
a curva está côncava para baixo; fora desse intervalo, côncava para cima.
Assim, marcamos esses pontos no plano e ligamos suavemente respeitando os comportamentos de crescimento/decrescimento e concavidade.
-
- Como
- Máximo local em
- Pontos de inflexão em
- Entre
Assim, marcamos esses pontos no plano e ligamos suavemente respeitando os comportamentos de crescimento/decrescimento e concavidade.
Resposta
a) Cresce em
e decresce em
.
b) Côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
c) O gráfico é um “W” simétrico: máximo em , mínimos em
, inflexões em
, com as concavidades e monotonia indicadas acima.
b) Côncavo para baixo em
c) O gráfico é um “W” simétrico: máximo em