Usando integral dupla, calcule o volume do sólido (ou conjunto) dado.
Conjunto D=(x, y, z) in R^3 ; x >= 0, y >= 0, x+y <= 1,0 <= z <= x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
D=(x,y,z)inR^3:x>=0,;y>=0,;x+y<=1,;0<= z<= x^2+y^2.
Este problema envolve volume como integral dupla sobre a região plana projetada em xy.

Passo 2

Para obter o volume, usamos
V=integral duplaRl(x^2+y^2r),dA,
onde R=(x,y):x>=0,;y>=0,;x+y<=1 é o triângulo no primeiro quadrante.

Passo 3

Parametrizamos R por
0<= x<=1, 0<= y<=1-x
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V=integralx=0^1integraly=0^1-xl(x^2+y^2r),dy,dx

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
integral0^1-xl(x^2+y^2r),dy =x^2,(1-x)+integral0^1-xy^2,dy =x^2,(1-x)+(1-x)^33

Passo 5

Agora integramos em x:
V=integral0^1l[x^2(1-x)+tfrac(1-x)^33r]dx =integral0^1(x^2 - x^3),dx +13integral0^1(1-x)^3,dx
Calculando cada parte:
integral0^1(x^2 - x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112,
integral0^1(1-x)^3,dx =l[-tfrac(1-x)^44r]0^1 =tfrac14,
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V=tfrac112+13cdottfrac14 =tfrac112+tfrac112 =tfrac16

Resposta

16

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