Questão 3: Seja y uma função de x, dada implicitamente pela equação x y+e^y=ln x.
(b) Determinar a equação da reta tangente à curva definida pela equação x y+e^y=ln x no ponto (e, 0), onde e é a base da função ln.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva definida de forma implícita por x,y + e^y = ln x e pede a reta tangente em (e,0). Vamos usar derivação implícita (regra do produto e regra da cadeia) para achar y' = tfracdydx e depois montar a equação da reta.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x:
ddx(x,y) + ddx(e^y) = ddx(ln x)
Na prática, aplicamos a regra do produto em x,y e a regra da cadeia em e^y:
ddx(x,y) = y + x,y',
ddx(e^y) = e^y,y',
ddx(ln x) = 1x
Substituindo, fica
y + x,y' + e^y,y' = 1x

Passo 3

Agrupando os termos que têm y' e isolando y':
y + y'(x + e^y) = 1x
y'(x + e^y) = 1x - y
y' = 1x - yx + e^y

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto (e,0). Substituindo x=e e y=0:
y'(e,0) = 1e - 0e + e^0 = 1/ee + 1 = 1e(e+1)

Passo 5

Com o coeficiente angular m = tfrac1e(e+1) e o ponto (e,0), usamos a forma ponto-de-reta:
y - 0 = 1e(e+1)(x - e)
Podemos reescrever na forma y = mx + b para ficar mais direta.

Resposta

y = 1e(e+1)x - 1e+1

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