Seja
a função dada implicitamente por
. Determine a reta tangente a função no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão! Temos uma função definida de forma implícita pela equação $ y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 = x $. Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto
. Para isso, precisamos usar conceitos de derivadas implícitas e equações de reta.
Passo 2
Vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Para isso, substituímos $ x = 1 $ na equação dada:
Simplificando:
Fatorando:
As soluções são $ y = 0 $ ou $ y^{2} + 3y + 3 = 0 $. A única solução real é $ y = 0 $, então $ f(1) = 0 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ para determinar a inclinação da reta tangente. Usaremos a diferenciação implícita da equação $ y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 = x $.
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $ no ponto onde $ y = 0 $:
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{1}{3} $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = \frac{1}{3} $ e passando pelo ponto
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente à função no ponto
é $ y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} $.