Seja y=f(x) a função dada implicitamente por y^3+3 y^2+3 y+1=x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão! Temos uma função definida de forma implícita pela equação $ y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 = x $. Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = x . Para isso, precisamos usar conceitos de derivadas implícitas e equações de reta.

Passo 2

Vamos encontrar o valor de $ f(1) $. Para isso, substituímos $ x = 1 $ na equação dada:
f(1)
Simplificando:
x = 1
Fatorando:
y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = 1
As soluções são $ y = 0 $ ou $ y^{2} + 3y + 3 = 0 $. A única solução real é $ y = 0 $, então $ f(1) = 0 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ para determinar a inclinação da reta tangente. Usaremos a diferenciação implícita da equação $ y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 = x $.
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $:
y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = x
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
x

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{dy}{dx} $ no ponto onde $ y = 0 $:
dydx
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{1}{3} $.

Passo 5

Com a inclinação $ m = \frac{1}{3} $ e passando pelo ponto m = 13 , usamos a fórmula da reta:
(1, 0)
Substituindo:
y - y1 = m(x - x1)
Simplificando:
y - 0 = 13(x - 1)

Resposta

A reta tangente à função no ponto (1, f(1)) é $ y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} $.

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