Seja y=f(x) a função que é dada implicitamente pela equação
e^{3 y}=\sqrt[3]{y^{2}+4 x}
a) Mostre que y^{\prime}=\frac{4}{3 e^{3 y}-2 y}.
b) Determine a reta tangente ao gráfico de f quando y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função y=f(x) definida implicitamente pela equação
e^{3 y}=\sqrt[3]{y^{2}+4 x}.
As perguntas são:
(a) mostrar uma expressão para a derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx};
(b) determinar a reta tangente ao gráfico de f no ponto em que y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Relação implícita entre x e y: e^{3 y}=(y^{2}+4 x)^{1/3}.
  • A função y depende de x (ou seja, y=f(x)) e devemos diferenciar implicitamente.
  • Para (b) é preciso achar o ponto correspondente em coordenadas (x,y) quando y=0 e usar a inclinação y' nesse ponto para escrever a reta tangente.

Passo 2

Primeiro simplifico a equação para facilitar a diferenciação. Como aparece uma raiz cúbica, elevo ambos os lados ao cubo; isso é permitido pois a função “elevar ao cubo” é bijetora nos reais, logo não introduz soluções espúrias. Elevando ao cubo:
\bigl(e^{3y}\bigr)^3 = \bigl((y^2+4x)^{1/3}\bigr)^3
o que dá, usando a propriedade das potências,
e^{9y} = y^2 + 4x.

Passo 3

Agora diferencio ambos os lados da igualdade \,e^{9y}=y^2+4x em relação a x, lembrando que y é função de x (regra da diferenciação implícita) e aplicando a regra da cadeia.
Recordando a regra da cadeia de forma concreta: se u(x) é uma função de x, então \dfrac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=9y(x), portanto u'(x)=9y'.
Diferenciando:
  • Derivada do lado esquerdo: \dfrac{d}{dx} e^{9y} = e^{9y}\cdot 9 y' = 9 e^{9y} y'.
  • Derivada do lado direito: \dfrac{d}{dx}(y^2+4x) = 2y\,y' + 4. (Expliquei: derivada de y^2 é 2y\cdot y' pela regra da cadeia; derivada de 4x é 4.)
Portanto obtemos a equação
9 e^{9y} y' = 2y\,y' + 4.

Passo 4

Agora isolo y'. Coloco os termos com y' no mesmo lado:
9 e^{9y} y' - 2y\,y' = 4.
Fatorando y':
y'\bigl(9 e^{9y} - 2y\bigr) = 4.
Finalmente, isolando y',
y'=\frac{4}{9 e^{9y} - 2 y}.
Observação importante (para não ficar confuso): a expressão que acabei de obter é a derivada correta decorrente da equação dada. Se alguém propôs a forma \dfrac{4}{3 e^{3y}-2y}, isso seria a derivada correta apenas para a equação diferente e^{y}=(y^{2}+4x)^{1/3} (note a ausência do 3 no expoente de e inicial). Ou seja, a fórmula com 3 e^{3y} no denominador corresponde a outro enunciado; para o enunciado que temos (com e^{3y} à esquerda) a derivada correta é a que obtivemos acima.

Passo 5

Passo para a parte (b): primeiro encontro o ponto do gráfico correspondente a y=0. Uso a equação original:
e^{3\cdot 0} = \sqrt[3]{0^{2}+4x}\quad\Longrightarrow\quad 1 = \sqrt[3]{4x}.
Elevando ao cubo ambos os lados:
1 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{1}{4}.
Portanto o ponto do gráfico onde y=0 é \bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr).

Passo 6

Agora calculo a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a fórmula da derivada que já obtivemos:
y'=\frac{4}{9 e^{9y} - 2 y}.
Avalio em y=0. Como e^{9\cdot 0}=1,
y'\big|_{y=0} = \frac{4}{9\cdot 1 - 2\cdot 0} = \frac{4}{9}.
Então a inclinação da reta tangente é m=\dfrac{4}{9}.

Passo 7

Escrevo a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação: y-y_0=m(x-x_0). Com (x_0,y_0)=\bigl(\tfrac{1}{4},0\bigr) e m=\dfrac{4}{9},
y - 0 = \frac{4}{9}\Bigl(x - \tfrac{1}{4}\Bigr).
Posso simplificar para a forma reduzida:
y = \frac{4}{9}x - \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4} = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9}.

Resposta

(a) y'=\dfrac{4}{9 e^{9y}-2 y}
(b) Reta tangente: y=\dfrac{4}{9}x-\dfrac{1}{9}

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