Seja y=f(x) a função que é dada implicitamente pela equação
e^{3 y}=\sqrt[3]{y^{2}+4 x}
a) Mostre que y^{\prime}=\frac{4}{3 e^{3 y}-2 y}.
b) Determine a reta tangente ao gráfico de f quando y=0.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função y=f(x) definida implicitamente pela equação
e^{3 y}=\sqrt[3]{y^{2}+4 x}.
As perguntas são:
(a) mostrar uma expressão para a derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx};
(b) determinar a reta tangente ao gráfico de f no ponto em que y=0.
Informações relevantes fornecidas:
Relação implícita entre x e y: e^{3 y}=(y^{2}+4 x)^{1/3}.
A função y depende de x (ou seja, y=f(x)) e devemos diferenciar implicitamente.
Para (b) é preciso achar o ponto correspondente em coordenadas (x,y) quando y=0 e usar a inclinação y' nesse ponto para escrever a reta tangente.
Passo 2
Primeiro simplifico a equação para facilitar a diferenciação. Como aparece uma raiz cúbica, elevo ambos os lados ao cubo; isso é permitido pois a função “elevar ao cubo” é bijetora nos reais, logo não introduz soluções espúrias. Elevando ao cubo:
Agora diferencio ambos os lados da igualdade \,e^{9y}=y^2+4x em relação a x, lembrando que y é função de x (regra da diferenciação implícita) e aplicando a regra da cadeia.
Recordando a regra da cadeia de forma concreta: se u(x) é uma função de x, então \dfrac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=9y(x), portanto u'(x)=9y'.
Diferenciando:
Derivada do lado esquerdo: \dfrac{d}{dx} e^{9y} = e^{9y}\cdot 9 y' = 9 e^{9y} y'.
Derivada do lado direito: \dfrac{d}{dx}(y^2+4x) = 2y\,y' + 4. (Expliquei: derivada de y^2 é 2y\cdot y' pela regra da cadeia; derivada de 4x é 4.)
Portanto obtemos a equação
9 e^{9y} y' = 2y\,y' + 4.
Passo 4
Agora isolo y'. Coloco os termos com y' no mesmo lado:
9 e^{9y} y' - 2y\,y' = 4.
Fatorando y':
y'\bigl(9 e^{9y} - 2y\bigr) = 4.
Finalmente, isolando y',
y'=\frac{4}{9 e^{9y} - 2 y}.
Observação importante (para não ficar confuso): a expressão que acabei de obter é a derivada correta decorrente da equação dada. Se alguém propôs a forma \dfrac{4}{3 e^{3y}-2y}, isso seria a derivada correta apenas para a equação diferente e^{y}=(y^{2}+4x)^{1/3} (note a ausência do 3 no expoente de e inicial). Ou seja, a fórmula com 3 e^{3y} no denominador corresponde a outro enunciado; para o enunciado que temos (com e^{3y} à esquerda) a derivada correta é a que obtivemos acima.
Passo 5
Passo para a parte (b): primeiro encontro o ponto do gráfico correspondente a y=0. Uso a equação original: