O enunciado define para uma função e uma partição a variação
e a variação total
var(f)=supPvar(f,P)
Chamamos de BV([a,b]) o conjunto das funções de variação limitada e queremos:
a) Mostrar var(f)=0iff f é constante.
b) Verificar se var(cdot) é norma em BV([a,b]).
c) Provar que |f|=|f(a)|+var(f) é uma norma em BV([a,b]).
d) Provar que l(BV([a,b]),|cdot|r) é um espaço de Banach.
Passo 2
a) Suponha var(f)=0. Se existissem x<y tais que f(x)neq f(y), consideramos a partição P=x,y e obteríamos
var(f,P)=|f(y)-f(x)|>0,
contradição. Logo f(x)=f(y) para todo par, ou seja, f é constante.
Reciprocamente, se fequiv C então em qualquer partição cada termo l|f(xi)-f(xi-1)r|=0, então var(f)=0.
Desigualdade triangular: var(f+g)<=var(f)+var(g), pois l|(f+g)(xi)-(f+g)(xi-1)r|<=|f(xi)-f(xi-1)|+|g(xi)-g(xi-1)|.
Porém var(f)=0 não implica f=0, apenas que f é constante. Logo var(cdot) é uma seminorma, não uma norma.
Passo 4
c) Defina |f|=|f(a)|+var(f).
(i) Se |f|=0 então f(a)=0 e var(f)=0, logo fequiv0.
(ii) Homogeneidade: |alpha f|=|alpha f(a)|+var(alpha f)=|alpha|,|f(a)|+|alpha|var(f)=|alpha||f|.
(iii) Desigualdade triangular:
ou seja (fn(t)) é Cauchy em R uniformemente em t. Logo existe f(t)=limnfn(t) e a convergência é uniforme.
Passo 6
Ainda em d), como supnvar(fn)<infty, para qualquer partição P temos
var(f,P) =limnvar(fn,P) <=supnvar(fn)<infty,
logo var(f)<infty e fin BV([a,b]). Finalmente, usando convergência uniforme e a semicontinuidade da variação, mostra-se que |fn-f|to0. Assim BV([a,b]) é completo na norma |cdot|.
Resposta
a) var(f)=0 se e somente se f é constante.
b) var(cdot) não é norma, mas apenas seminorma em BV([a,b]).
c) |f|=|f(a)|+var(f) é norma em BV([a,b]).
d) l(BV([a,b]),|cdot|r) é um espaço de Banach.