Seja uma função. Para uma dada partição de definimos a variação de em relação a por
Dizemos que é de variação limitada se
éçã
é finito. Denotamos por o conjunto de todas as funções de variação limitada em .
a) Mostre que é constante.
b) var é uma norma em ?
c) Mostre que define uma norma em .
d) Mostre que é um espaço de Banach se munido da norma do item \text{©}). Roteiro sugerido: Tome uma sequência de Cauchy em BV ([ ]). Mostre que ela converge pontualmente. Defina usando os limites pontuais. Mostre que é de variação limitada (use que sequências de Cauchy são limitadas e depois tome o supremo). Finalmente, mostre que a sequência converge para na norma do item c).

Passo 1

O enunciado define para uma função f:[a,b]toR e uma partição P: a=x0<x1<cdots<xn=b a variação
var(f,P)=sumi=1^nl|f(xi)-f(xi-1)r|
e a variação total
var(f)=supPvar(f,P)
Chamamos de BV([a,b]) o conjunto das funções de variação limitada e queremos:
a) Mostrar var(f)=0iff f é constante.
b) Verificar se var(cdot) é norma em BV([a,b]).
c) Provar que |f|=|f(a)|+var(f) é uma norma em BV([a,b]).
d) Provar que l(BV([a,b]),|cdot|r) é um espaço de Banach.

Passo 2

a) Suponha var(f)=0. Se existissem x<y tais que f(x)neq f(y), consideramos a partição P=x,y e obteríamos
var(f,P)=|f(y)-f(x)|>0,
contradição. Logo f(x)=f(y) para todo par, ou seja, f é constante.
Reciprocamente, se fequiv C então em qualquer partição cada termo l|f(xi)-f(xi-1)r|=0, então var(f)=0.

Passo 3

b) Para ver se var(cdot) é norma, checamos:
  1. Homogeneidade:
    var(alpha f)=supPsum|alpha f(xi)-alpha f(xi-1)|=|alpha|var(f).
  2. Desigualdade triangular:
    var(f+g)<=var(f)+var(g), pois
    l|(f+g)(xi)-(f+g)(xi-1)r|<=|f(xi)-f(xi-1)|+|g(xi)-g(xi-1)|.
Porém var(f)=0 não implica f=0, apenas que f é constante. Logo var(cdot) é uma seminorma, não uma norma.

Passo 4

c) Defina |f|=|f(a)|+var(f).
(i) Se |f|=0 então f(a)=0 e var(f)=0, logo fequiv0.
(ii) Homogeneidade:
|alpha f|=|alpha f(a)|+var(alpha f)=|alpha|,|f(a)|+|alpha|var(f)=|alpha||f|.
(iii) Desigualdade triangular:
|f+g|=|f(a)+g(a)|+var(f+g) <=|f(a)|+|g(a)|+var(f)+var(g) =|f|+|g|
Portanto |cdot| é norma em BV([a,b]).

Passo 5

d) Seja (fn) Cauchy em |cdot|. Então
|fn(a)-fm(a)|<=|fn-fm|to0, var(fn-fm)<=|fn-fm|to0
Para todo tin[a,b] e m<n,
|fn(t)-fm(t)|<=|fn(a)-fm(a)|+var(fn-fm)to0,
ou seja (fn(t)) é Cauchy em R uniformemente em t. Logo existe f(t)=limnfn(t) e a convergência é uniforme.

Passo 6

Ainda em d), como supnvar(fn)<infty, para qualquer partição P temos
var(f,P) =limnvar(fn,P) <=supnvar(fn)<infty,
logo var(f)<infty e fin BV([a,b]). Finalmente, usando convergência uniforme e a semicontinuidade da variação, mostra-se que
|fn-f|to0. Assim BV([a,b]) é completo na norma |cdot|.

Resposta

a) var(f)=0 se e somente se f é constante.
b) var(cdot) não é norma, mas apenas seminorma em BV([a,b]).
c) |f|=|f(a)|+var(f) é norma em BV([a,b]).
d) l(BV([a,b]),|cdot|r) é um espaço de Banach.

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