Verifique que os pontos e são vértices de um triângulo retângulo.
7 Dados os vetores e , verifique que eles determinan um paralelepípedo e calcule o seu volume.
8 Dados os pontos e , determine as coordenadas de um ponto de modo que os pontos e sejam coplanares e o vetor seja ortogonal ao vetor A B.
Passo 1
Temos os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1). Queremos mostrar que o triângulo ABC é retângulo, ou seja, que dois dos seus lados são perpendiculares. Para isso, vamos usar produto escalar de vetores.
Passo 2
Calcule os vetores
AB=B-A=(-1-1,;0-0,;2-1)=(-2,0,1),
AC=C-A=(1-1,;1-0,;1-1)=(0,1,0)
Passo 3
Verifique o produto escalar
ABcdotAC =(-2)cdot0+0cdot1+1cdot0=0
Como o produto escalar é zero, ABperpAC, logo o ângulo em A é reto.
Passo 4
Dados os vetores u=(2,1,-1), v=(-1,0,2) e w=(0,2,-3). Para que eles determinem um paralelepípedo não degenerado, o produto misto ucdot(vtimesw) deve ser diferente de zero. Esse valor em módulo é o volume do paralelepípedo.