Verifique que os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo.
7 Dados os vetores u=2 i+j-k, v=-i+2 k e w=2 j-3 k, verifique que eles determinan um paralelepípedo e calcule o seu volume.
8 Dados os pontos A=(1,2,0), B=(1,2,3) e C=(-1,-2,2), determine as coordenadas de um ponto D de modo que os pontos A, B, C e D sejam coplanares e o vetor A D seja ortogonal ao vetor A B.

Passo 1

Temos os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1). Queremos mostrar que o triângulo ABC é retângulo, ou seja, que dois dos seus lados são perpendiculares. Para isso, vamos usar produto escalar de vetores.

Passo 2

Calcule os vetores
AB=B-A=(-1-1,;0-0,;2-1)=(-2,0,1),
AC=C-A=(1-1,;1-0,;1-1)=(0,1,0)

Passo 3

Verifique o produto escalar
ABcdotAC =(-2)cdot0+0cdot1+1cdot0=0
Como o produto escalar é zero, ABperpAC, logo o ângulo em A é reto.

Passo 4

Dados os vetores u=(2,1,-1), v=(-1,0,2) e w=(0,2,-3). Para que eles determinem um paralelepípedo não degenerado, o produto misto ucdot(vtimesw) deve ser diferente de zero. Esse valor em módulo é o volume do paralelepípedo.

Passo 5

Calcule o determinante
ucdot(vtimesw) = 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 2 0 & 2 & -3
Expandindo pela primeira linha:
2cdot0&22&-3 -1cdot-1&20&-3 +(-1)cdot-1&00&2 =2(0cdot(-3)-2cdot2)-1((-1)(-3)-2cdot0)-1((-1)cdot2-0) =-8-3+2=-9

Passo 6

Como o produto misto é -9neq0, os vetores são não coplanares e formam um paralelepípedo. O volume é
V=l|ucdot(vtimesw)r|=|-9|=9

Passo 7

Temos A=(1,2,0), B=(1,2,3) e C=(-1,-2,2). Queremos achar D tal que A,B,C,D são coplanares (logo AD está no plano de AB e AC) e ADperpAB.

Passo 8

Calcule
AB=(0,0,3), AC=(-2,-4,2)
Como D está no plano, escreva
AD=alpha,AB+beta,AC =(0,0,3alpha)+(-2beta,-4beta,2beta) =(-2beta,,-4beta,;3alpha+2beta)
A condição de ortogonalidade é
ADcdotAB =(-2beta)cdot0+(-4beta)cdot0+(3alpha+2beta)cdot3 =3(3alpha+2beta)=0 ;Longrightarrow;3alpha+2beta=0 ;Longrightarrow;beta=-tfrac32alpha

Passo 9

Escolhendo alpha=1 (qualquer valor não nulo gera solução), temos beta=-tfrac32. Logo
AD =(-2(-tfrac32),-4(-tfrac32),3cdot1+2(-tfrac32)) =(3,6,0)
e
D=A+AD=(1,2,0)+(3,6,0)=(4,8,0)

Resposta

Uma solução é D=(4,8,0), pois assim A,B,C,D são coplanares e ADperpAB.

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