Sejam X=(C^1[0,1],| | cdot| |) e Y=(C^1[0,1],|cdot|), onde
|||f|||=sup x in[0,1]|f(x)|+|f^prime(x)| e | f| |=sup x in[0,1]|f(x)|
a) Para cada n in N defina fn in C^1[0,1] pondo fn(x)=sen(n x)n. Mostre que a sequência (fn)n in N converge para zero (função nula) em Y mas não em X.
b) Mostre que a identidade de X em Y é contínua mas não é um isomorfismo.
c) Usando o item anterior, qual a relação entre as topologias induzidas por ||| •||| e por || •||? JUSTIFIQUE!

Passo 1

O enunciado trata de dois espaços de Banach sobre C^1[0,1]:
X=(C^1[0,1],|||cdot|||) com
|||f|||=supxin[0,1]l|f(x)|+|f'(x)|r
e
Y=(C^1[0,1],|cdot|) com
|f|=supxin[0,1]l|f(x)r|
Precisamos mostrar em (a) que a sequência fn(x)=sen(nx)n converge para 0 em Y mas não em X; em (b) que a aplicação identidade id:Xto Y é contínua porém não é isomorfismo de espaços de norma; e em (c) deduzir a relação entre as topologias geradas por |||cdot||| e por |cdot|.

Passo 2

(a) Convergência em Y:
Para todo n e todo xin[0,1] vale
l|fn(x)r|=l|sen(nx)nr|<=1n
Logo
|fn|=supxin[0,1]l|fn(x)r|<=1n;xrightarrow[ntoinfty]0,
ou seja, fnto0 em Y.
Convergência em X:
Calculamos
fn'(x)=cos(nx),
então
|||fn|||=supxl|fn(x)r|+supxl|fn'(x)r| =1n+1;xrightarrow[ntoinfty]1neq0
Logo fn não converge para 0 em X.

Passo 3

(b) A identidade id:Xto Y é linear e, para qualquer fin C^1[0,1],
|f|=sup|f(x)|<=supl|f(x)|+|f'(x)|r=|||f|||,
logo id é limitada (contínua). É bijetora mas id^-1:Yto X não pode ser contínua, pois se fosse então toda sequência que tende a 0 em Y tenderia a 0 em X, contradizendo o exemplo fn do item (a). Portanto id não é isomorfismo de normas.

Passo 4

(c) Como a identidade Xto Y é contínua mas sua inversa não é, a topologia induzida por |||cdot||| em C^1[0,1] é estritamente mais forte (ou mais fina) que a topologia induzida por |cdot|.

Resposta

A topologia de X (norma |||cdot|||) é mais forte que a topologia de Y (norma |cdot|).

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