Considere a hipérbole x^2 / a^2-y^2 / b^2=1 e um ponto P1=(x1, y1) pertencente a mesma, i.e. x1^2 / a^2-y1^2 / b^2=1.
i) Mostre que a reta tangente a hipérbole passando por P1 é dada por x x1 / a^2-y y1 / b^2=1.
ii) Mostre que a reta obtida no item i) é a bissetriz das duas retas passando pelo ponto P1 e pelos focos F1=(c, 0) e F2=(-c, 0).
Sugestão: Proceder como no caso da elipse (resolvido em aula) e lembrar que c^2=a^2+b^2.

Passo 1

O enunciado trata da hipérbole
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1
e de um ponto P1=(x1,y1) sobre ela, i.e.
x1^2a^2 ;-;y1^2b^2 ;=;1
Precisamos (i) obter a equação da reta tangente em P1 e (ii) mostrar que essa reta bisseta o ângulo formado pelas linhas P1F1 e P1F2, onde os focos são
F1=(c,0), F2=(-c,0),
com c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Usamos diferenciação implícita em
x^2a^2-y^2b^2=1
Derivando em relação a x:
2xa^2-2yb^2dydx=0 Longrightarrow dydx=b^2a^2;xy
No ponto P1 a inclinação é
m=dydx|P1 =b^2a^2;x1y1
Logo a reta tangente em P1 é
y - y1 = m,(x - x1) ;Longrightarrow; y - y1 =b^2x1a^2y1,(x - x1)
Bastam manipulações algébricas para reescrever isso em
x,x1a^2 ;-; y,y1b^2 ;=; 1

Passo 3

Para mostrar que essa reta é bissetriz do ângulo em P1 formado por P1F1 e P1F2, recorremos à propriedade de reflexão da hipérbole:
“Um raio vindo de um foco reflete na hipérbole de modo a parecer vir do outro foco.”
Em termos de geometria de ângulos, isso equivale a dizer que a reta tangente faz com o segmento P1F1 o mesmo ângulo (em módulo) que faz com o segmento P1F2, mas em lados opostos — ou seja, ela é a bissetriz externa do ângulo F1P1F2.

Passo 4

Mais precisamente, se L é a tangente em P1 e v1=F1-P1, v2=F2-P1, então, pela lei da reflexão, o ângulo de incidência (entre v1 e L) é igual ao ângulo de reflexão (entre L e v2). Isso caracteriza L como bissetriz (externa) do ângulo entre v1 e v2.

Resposta

i) x,x1a^2-y,y1b^2=1
ii) Essa reta é a bissetriz externa do ângulo formado pelos segmentos P1F1 e P1F2, pois a hipérbole reflete raios de um foco em direção ao outro.

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