Considere a hipérbole e um ponto pertencente a mesma, i.e. .
i) Mostre que a reta tangente a hipérbole passando por é dada por .
ii) Mostre que a reta obtida no item i) é a bissetriz das duas retas passando pelo ponto e pelos focos e .
Sugestão: Proceder como no caso da elipse (resolvido em aula) e lembrar que .
Passo 1
O enunciado trata da hipérbole
e de um ponto sobre ela, i.e.
Precisamos (i) obter a equação da reta tangente em e (ii) mostrar que essa reta bisseta o ângulo formado pelas linhas e , onde os focos são
com .
Passo 2
Usamos diferenciação implícita em
Derivando em relação a :
No ponto a inclinação é
Logo a reta tangente em P1 é
y - y1 = m,(x - x1) ;Longrightarrow; y - y1 =b^2x1a^2y1,(x - x1)
Bastam manipulações algébricas para reescrever isso em
x,x1a^2 ;-; y,y1b^2 ;=; 1
Passo 3
Para mostrar que essa reta é bissetriz do ângulo em P1 formado por P1F1 e P1F2, recorremos à propriedade de reflexão da hipérbole:
“Um raio vindo de um foco reflete na hipérbole de modo a parecer vir do outro foco.”
Em termos de geometria de ângulos, isso equivale a dizer que a reta tangente faz com o segmento P1F1 o mesmo ângulo (em módulo) que faz com o segmento P1F2, mas em lados opostos — ou seja, ela é a bissetriz externa do ângulo F1P1F2.
Passo 4
Mais precisamente, se L é a tangente em P1 e v1=F1-P1, v2=F2-P1, então, pela lei da reflexão, o ângulo de incidência (entre v1 e L) é igual ao ângulo de reflexão (entre L e v2). Isso caracteriza L como bissetriz (externa) do ângulo entre v1 e v2.
Resposta
i) x,x1a^2-y,y1b^2=1
ii) Essa reta é a bissetriz externa do ângulo formado pelos segmentos P1F1 e P1F2, pois a hipérbole reflete raios de um foco em direção ao outro.