Seja f a função dada a seguir.
f(x, y)=c x^5x^4+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
a. Calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto P(0,0) e na direção u=(1,1).
b. Calcular nabla f(P) cdot u|u|

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^5x^4+y^4,& (x,y)neq(0,0),[0.5em] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (a) a derivada direcional de f em P=(0,0) na direção vec u=(1,1) via definição, e (b) o valor de nabla f(0,0)cdotvec u|vec u|. Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional
Dvec uf(0,0)=limtto0f(0+ t,ux,,0+ t,uy)-f(0,0)t,
e a definição de derivadas parciais para montar nabla f(0,0).]

Passo 2

Aplicando a definição de derivada direcional em vec u=(1,1):
Dvec uf(0,0) =limtto0f(t,t)-f(0,0)t =limtto0f(t,t)t
Para (t,t)neq(0,0) vale
f(t,t)=t^5t^4+t^4 =t^52,t^4 =t2,
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f(t,t)t =tfract2t =12
Portanto
Dvec uf(0,0)=12

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrach^5h^4+0-0h =limhto0hh =1,
pois f(h,0)=h^5/h^4=h. E
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h =0
Assim
labelgradiente nabla f(0,0)=(1,0)

Passo 4

A direção unitária em vec u=(1,1) é
vec u|vec u| =(1,1)raiz1^2+1^2 =(1,1)raiz2
e o produto escalar com o gradiente (1,0) de [gradiente]
nabla f(0,0)cdotvec u|vec u| =(1,0)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =1raiz2

Resposta

a) Dvec uf(0,0)=tfrac12.
b) nabla f(0,0)cdotvec u|vec u|=tfrac1raiz2

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