Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
2 sin y sin x cos x d x+cos y sin ^2 x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2sin y,sin xcos x,dx ;+;cos y,sin^2x,dy ;=;0
Conteúdo: equações diferenciais exatas.
Para resolver, vamos identificar M(x,y) e N(x,y), testar exatidão e, se exata, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2sin y,sin xcos x, N(x,y)=cos y,sin^2x
Calculamos
partial Mpartial y =2cos y,sin xcos x, partial Npartial x =cos ycdot 2sin xcos x =2cos y,sin xcos x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
F(x,y) =integral 2sin y,sin xcos x,dx =2sin yintegral sin xcos x,dx =2sin ycdotsin^2x2 =sin y,sin^2x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Fpartial y =cos y,sin^2x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=cos y,sin^2x. Assim
cos y,sin^2x + h'(y) =cos y,sin^2x Longrightarrow h'(y)=0
logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral, dada por F(x,y)=C, fica implícita como
sin^2x,sin y = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

boxedsin^2x,sin y = C

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