Resolva
x^2-4 x3 x^2-12 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-4x3x^2-12>= 0
O conteúdo aqui é análise de sinais de uma função racional: vamos fatorar numerador e denominador, identificar zeros e pontos de descontinuidade e montar a linha de sinais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-4x = x(x-4),
3x^2-12 = 3,(x^2-4) = 3,(x-2)(x+2)
Logo a função é
f(x)=x(x-4)3,(x-2)(x+2)

Passo 3

Identificamos os pontos críticos:
  • Zeros do numerador (onde f(x)=0): x=0 e x=4.
  • Zeros do denominador (pontos em que f não está definida): x=2 e x=-2.
O domínio é Rsetminus-2,2.

Passo 4

Analisamos o sinal de f(x) em cada intervalo determinado por -infty,-2,0,2,4,infty:
,xin(-infty,-2): numerador >0, denominador >0 f(x)>0.
,xin(-2,0): numerador >0, denominador <0 f(x)<0.
,xin(0,2): numerador <0, denominador <0 f(x)>0.
,xin(2,4): numerador <0, denominador >0 f(x)<0.
,xin(4,infty): numerador >0, denominador >0 f(x)>0.
Como queremos f(x)>=0, incluímos também os zeros do numerador ( x=0 e x=4), mas nunca os valores onde o denominador se anula.

Passo 5

Reunindo as partes em que f(x)>=0 e excluindo x=-2 e x=2, obtemos
(-infty,-2);cup;[0,2);cup;[4,infty)

Resposta

(-infty,-2)cup[0,2)cup[4,infty)

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