Seja
a função definida por
Mostre que
é descontínua no número 3 e determine se a descontinuidade ou essencial.
Passo 1
Temos a função definida por:
O objetivo aqui é verificar a continuidade em x=3, ou seja, comparar os limites laterais em 3 com o valor f(3).
Passo 2
Para calcular o limite à esquerda, usamos a expressão válida para x≤3. Assim, temos:
Como x{2}-6x+9=(x-3){2}, conclui-se que:
[
\lim_{x\to3^-}f(x)=0.
\lim_{x\to3^-}f(x)=0.
Passo 3
Agora calculamos o limite à direita, usando a expressão para x>3. Logo:
Substituindo x=3, obtemos:
[
\lim_{x\to3^+}f(x)=-9+18-6=3.
\lim_{x\to3^+}f(x)=-9+18-6=3.
Passo 4
O valor da função em x=3 é dado pela parte x≤3, ou seja:
Passo 5
Para que f fosse contínua em x=3, precisaríamos ter
Porém, vimos que
e
, valores diferentes, logo não há limite bilateral.
Passo 6
Como os limites laterais existem mas são distintos, temos uma descontinuidade do tipo salto (ou primeira espécie). Esse salto não pode ser “consertado” redefinindo f(3), então a descontinuidade é essencial (não removível).
Resposta
A função é descontínua em x=3, apresentando uma descontinuidade do tipo salto (primeira espécie), portanto essencial.