Seja f a função definida por
f(x)=ll x^2-6 x+9 & se x <= 3 -x^2+6 x-6 & se x>3
Mostre que f é descontínua no número 3 e determine se a descontinuidade ou essencial.

Passo 1

Temos a função definida por:
f(x)= x^2-6x+9 & se x<=3, -x^2+6x-6 & se x>3
O objetivo aqui é verificar a continuidade em x=3, ou seja, comparar os limites laterais em 3 com o valor f(3).

Passo 2

Para calcular o limite à esquerda, usamos a expressão válida para x≤3. Assim, temos:
limxto3^-f(x)=limxto3^-(x^2-6x+9)
Como x{2}-6x+9=(x-3){2}, conclui-se que:
[
\lim_{x\to3^-}f(x)=0.

Passo 3

Agora calculamos o limite à direita, usando a expressão para x>3. Logo:
limxto3^+f(x)=limxto3^+(-x^2+6x-6)
Substituindo x=3, obtemos:
[
\lim_{x\to3^+}f(x)=-9+18-6=3.

Passo 4

O valor da função em x=3 é dado pela parte x≤3, ou seja:
f(3)=3^2-6cdot3+9=9-18+9=0

Passo 5

Para que f fosse contínua em x=3, precisaríamos ter
limxto3^-f(x)=0
Porém, vimos que limxto3^+f(x)=3 e , valores diferentes, logo não há limite bilateral.

Passo 6

Como os limites laterais existem mas são distintos, temos uma descontinuidade do tipo salto (ou primeira espécie). Esse salto não pode ser “consertado” redefinindo f(3), então a descontinuidade é essencial (não removível).

Resposta

A função é descontínua em x=3, apresentando uma descontinuidade do tipo salto (primeira espécie), portanto essencial.

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