Seja f: R^2-(0,0) R a função definida por
f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^53
Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0), ao longo dos seguintes caminhos:
reta y=x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da função f(x,y)=3x^4y^4(x^4+y^2)^5/3 quando (x,y)to(0,0) ao longo da reta y=x. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis restrito a um caminho, e vamos usar substituição paramétrica para simplificar.

Passo 2

Parametrizamos a reta y=x por x=t, y=t e fazemos tto0. Assim,
f(t,t)=3,t^4,t^4l(t^4+t^2r)^5/3=3t^8(t^2(t^2+1))^5/3

Passo 3

Agora vamos simplificar as potências. Temos
(t^2)^5/3=t^10/3,
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f(t,t)=3t^8t^10/3(t^2+1)^5/3=3,t^8-10/3(t^2+1)^5/3=3,t^14/3(t^2+1)^5/3

Passo 4

Quando tto0, o numerador t^14/3to0 e o denominador (t^2+1)^5/3to1. Portanto o limite ao longo de y=x é zero.

Resposta

0

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