1. Seja a função f(x) definida abaixo, determine seu domínio e imagem e faça seu gráfico. Essa função é contínua nos pontos \pm 1 e 0 ?
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x & \text { se }-1 \leq x<0 \\\ 1 & \text { se } 0 \leq x<1 \\ x^{2} & \text { se } x>1 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= \begin{cases} -x, & -1 \le x < 0,\\\\ 1, & 0 \le x < 1,\\\ x^2,& x > 1, \end{cases}
e pede (i) domínio, (ii) imagem, (iii) esboço do gráfico e (iv) verificação de continuidade nos pontos -1, 0 e 1. Vamos usar conceitos de união de intervalos para domínio, análise de monotonia e valores extremos em cada ramo para imagem, esboçar cada trecho e calcular limites laterais para testar continuidade.

Passo 2

Determinar o domínio.
Cada trecho está definido em -1 \le x < 0, 0 \le x < 1 e x > 1.
Portanto o domínio é a união desses intervalos:
\text{Dom}(f) = [-1,0)\,\cup\,[0,1)\,\cup\,(1,\infty) = [-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Determinar a imagem (conjunto de valores de f).
  1. Para -1 \le x<0, temos f(x)=-x. Ao variar x de -1 até 0 (não incluindo 0), f varia de
f(-1) = 1 \quad\text{até}\quad \lim_{x\to0^-}(-x)=0.é
Como 0 não é atingido, esse ramo dá (0,1].
2. Para 0 \le x<1, f(x)=1, ou seja, só produz o valor 1.
3. Para x>1, f(x)=x^2, que cresce de \lim_{x\to1^+}x^2=1 até +\infty, gerando (1,\infty).
Unindo tudo, a imagem é
\text{Im}(f) = (0,1] \,\cup\, \{1\} \,\cup\,(1,\infty) = (0,\infty).

Passo 4

Esboçar o gráfico.
  • No intervalo [-1,0): reta de inclinação -1 passando por (-1,1) e tendendo a (0,0), mas com ponto aberto em (0,0).
  • Em [0,1): segmento horizontal em y=1 de x=0 (incluso) até x=1 (não incluso).
  • Em (1,\infty): ramo da parábola y=x^2, com um ponto aberto em (1,1) e depois subindo para a direita.

Passo 5

Continuidade em x=-1. \,-1 é extremidade esquerda do domínio. O limite pela direita é
\lim_{x\to -1^+}f(x) = \lim_{x\to -1^+}(-x) = -(-1)=1,
que coincide com f(-1)=1. Logo, f é contínua em -1.

Passo 6

Continuidade em x=0.
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0.
  • Limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}1=1.
    Como os dois limites não coincidem (e diferente de f(0)=1), f é descontinua em 0.

Passo 7

Continuidade em x=1.
O ponto x=1 não pertence ao domínio, logo f não está definida em 1 e, portanto, não é contínua em 1.

Resposta

Domínio: \;[-1,1)\cup(1,\infty).
Imagem: \;(0,\infty).
Gráfico: reta decrescente de (-1,1) a (0,0) (ponto aberto), segmento horizontal em y=1 para 0\le x<1, e parábola y=x^2 para x>1 (ponto aberto em (1,1)).
Continuidade: contínua em -1, descontinua em 0 e não definida (logo descontinua) em 1.

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