1. O valor da constante a para que função
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 3 x^{2}-x+2 & \text { se } x<1 \\ a x-2 & \text { se } x \geq 1 \end{array} \right.
seja derivável em todo seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x^{2}-x+2,&x<1,\\\ a x-2,&x\ge1, \end{cases}
e pede o valor de a para que f seja derivável em todo seu domínio. O único ponto potencialmente problemático é x=1, pois em outras regiões cada ramo é polinomial (logo derivável). Para garantir derivabilidade em x=1 precisamos de duas coisas: continuidade de f em 1 e igualdade das derivadas laterais em 1.

Passo 2

Condição de continuidade em x=1: calcular
f(1^{-})=\lim_{x\to1^{-}}(3x^{2}-x+2) =3\cdot1^{2}-1+2=4
e
f(1^{+})=\lim_{x\to1^{+}}(a x-2) =a\cdot1-2=a-2.
Para f(1^{-})=f(1^{+}) é necessário
4=a-2 \quad\Longrightarrow\quad a=6.

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=1: comparar derivadas laterais. Para x<1
f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-x+2)=6x-1,
logo
f'(1^{-})=6\cdot1-1=5.
Para x>1
f'(x)=\frac{d}{dx}(a x-2)=a,
de onde
f'(1^{+})=a.
Para igualdade das derivadas em 1 precisamos 5=a.

Passo 4

Comparando as condições tiramos
a=6 \quad\text{(continuidade)}, \qquad a=5 \quad\text{(derivabilidade)},
que são conflitantes. Não existe valor de a que satisfaça ambas simultaneamente.

Resposta

Não existe valor de a que torne f derivável em todo seu domínio.

Exercícios relacionados