Para o esboço do gráfico de f(x) analisamos cada trecho:
• Para x<−2: f(x)=x+2 é uma reta de inclinação 1. Em x→−2− temos f(−2−)=0, ponto aberto em (−2,0).
• Em x=−2: f(−2)=1, ponto fechado em (−2,1).
• Para −2<x≤−1: f(x)=−x−2 é reta de inclinação −1. Em x→−2+ f(−2+)=0 (marcado com ponto aberto em (−2,0)) e em x=−1 fechado em (−1,−1).
• Para −1<x<0: f(x)=−1 é reta horizontal. Pontos abertos em (−1,−1) e (0,−1).
• Em x=0: f(0)=0, ponto fechado em (0,0).
• Para x>0: f(x)=1 é reta horizontal, ponto aberto em (0,1) e segue constante.
Passo 3
Para x→−2 do lado direito, usamos f(x)=−x−2, logo
limxto -2^+f(x)= -(-2)-2=0
Do lado esquerdo, f(x)=x+2, então
limxto -2^-f(x)= -2+2=0
E por definição f(−2)=1.
Passo 4
Como as duas limites laterais em x→−2 coincidem (ambos 0), existe o limite
limxto -2f(x)=0
Note que f(−2)=1≠0, logo f não é contínua em x=−2.
Passo 5
Em x→−1− usamos f(x)=−x−2, logo
limxto -1^-f(x)= -(-1)-2= -1
Em x→−1+ temos f(x)=−1 constante, então
limxto -1^+f(x)=-1
E f(−1) pertence ao trecho f(x)=−x−2, logo f(−1)= -(-1)-2= -1.
Passo 6
Como as duas limites laterais em x→−1 coincidem (ambos −1), existe o limite
limxto -1f(x)=-1
Além disso f(−1)=−1, portanto f é contínua em x=−1.
Passo 7
Em x→0− usamos f(x)=−1, então
limxto 0^-f(x)=-1
Em x→0+ temos f(x)=1, logo
limxto 0^+f(x)=1
E f(0)=0.
Passo 8
Como limxto0^-f(x)=-1 difere de limxto0^+f(x)=1, não existe limxto0f(x).