1. Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x+2 & se & x<-2 1 & se & x=-2 -x-2 & se & -20
(a) Faça um esboço do gráfico de f.
(b) Determine lim x -2^+ f(x), lim x -2^- f(x) e f(-2).
© Existe lim x -2 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
(d) Determine lim x -1^+ f(x), lim x -1^- f(x) e f(-1).
(e) Existe lim x -1 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
(f) Determine lim x 0^+ f(x), lim x 0^- f(x) e f(0).
(g) Existe lim x 0 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

O enunciado apresenta uma função por partes e pede: (a) o esboço do gráfico, (b) limites laterais em x=−2 e valor f(−2), © existência do limite em x=−2, (d) limites laterais em x=−1 e valor f(−1), (e) existência do limite em x=−1, (f) limites laterais em x=0 e valor f(0), (g) existência do limite em x=0. Vamos usar os conceitos de função definida por trechos, cálculo de limites laterais e condição de existência de limite (limites laterais iguais).

Passo 2

Para o esboço do gráfico de f(x) analisamos cada trecho:
• Para x<−2: f(x)=x+2 é uma reta de inclinação 1. Em x→−2− temos f(−2−)=0, ponto aberto em (−2,0).
• Em x=−2: f(−2)=1, ponto fechado em (−2,1).
• Para −2<x≤−1: f(x)=−x−2 é reta de inclinação −1. Em x→−2+ f(−2+)=0 (marcado com ponto aberto em (−2,0)) e em x=−1 fechado em (−1,−1).
• Para −1<x<0: f(x)=−1 é reta horizontal. Pontos abertos em (−1,−1) e (0,−1).
• Em x=0: f(0)=0, ponto fechado em (0,0).
• Para x>0: f(x)=1 é reta horizontal, ponto aberto em (0,1) e segue constante.

Passo 3

Para x→−2 do lado direito, usamos f(x)=−x−2, logo
limxto -2^+f(x)= -(-2)-2=0
Do lado esquerdo, f(x)=x+2, então
limxto -2^-f(x)= -2+2=0
E por definição f(−2)=1.

Passo 4

Como as duas limites laterais em x→−2 coincidem (ambos 0), existe o limite
limxto -2f(x)=0
Note que f(−2)=1≠0, logo f não é contínua em x=−2.

Passo 5

Em x→−1− usamos f(x)=−x−2, logo
limxto -1^-f(x)= -(-1)-2= -1
Em x→−1+ temos f(x)=−1 constante, então
limxto -1^+f(x)=-1
E f(−1) pertence ao trecho f(x)=−x−2, logo f(−1)= -(-1)-2= -1.

Passo 6

Como as duas limites laterais em x→−1 coincidem (ambos −1), existe o limite
limxto -1f(x)=-1
Além disso f(−1)=−1, portanto f é contínua em x=−1.

Passo 7

Em x→0− usamos f(x)=−1, então
limxto 0^-f(x)=-1
Em x→0+ temos f(x)=1, logo
limxto 0^+f(x)=1
E f(0)=0.

Passo 8

Como limxto0^-f(x)=-1 difere de limxto0^+f(x)=1, não existe limxto0f(x).

Resposta

(a) Gráfico: reta f(x)=x+2 para x<−2 (ponto aberto em (−2,0)), ponto fechado em (−2,1), reta f(x)=−x−2 para −2<x≤−1 (aberto em (−2,0), fechado em (−1,−1)), segmento horizontal f=−1 em −1<x<0 (abertos em (−1,−1),(0,−1)), ponto (0,0), reta horizontal f=1 para x>0 (aberto em (0,1)).
(b) limxto -2^-f(x)=0, limxto -2^+f(x)=0, f(-2)=1
© limxto -2f(x)=0 existe.
(d) limxto -1^-f(x)=-1, limxto -1^+f(x)=-1, f(-1)=-1
(e) limxto -1f(x)=-1 existe.
(f) limxto 0^-f(x)=-1, limxto 0^+f(x)=1, f(0)=0
(g) limxto0f(x) não existe (lados diferentes).

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