Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou contraexemplos.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se “se x<1 então x³<x” é sempre verdadeiro no conjunto dos reais. O conteúdo envolvido é inequação polinomial e análise de sinal de produto de fatores, e vamos precisar fatorar x³–x e estudar o sinal de cada fator.
Passo 2
Reescrevemos a implicação como inequação: quando x<1, queremos saber se sempre vale x³<x. Subtraindo x de ambos os lados, isso é equivalente a
. Fatorando o polinômio, temos
Passo 3
Para estudar
, analisamos os zeros dos fatores (
) e montamos o diagrama de sinais nos intervalos:
- Em
, fatores: x(–), (x–1)(–), (x+1)(–) → produto (–)·(–)·(–) = (–) → inequação satisfeita. - Em
, fatores: x(–), (x–1)(–), (x+1)(+) → produto (–)·(–)·(+) = (+) → inequação não satisfeita. - Em
, fatores: x(+), (x–1)(–), (x+1)(+) → produto (+)·(–)·(+) = (–) → inequação satisfeita. - Em
, não interessa pois x<1.
Passo 4
Portanto, a inequação x³<x vale para x em
, mas falha em
.
Como a hipótese x<1 inclui valores em , a implicação não é verdadeira para todos os x<1. Um contraexemplo simples é
: temos
, mas
Como a hipótese x<1 inclui valores em
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Resposta
A sentença é falsa. Um contraexemplo é x = –0.5, pois –0.5 < 1 mas (–0.5)³ = –0.125 > –0.5.