Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou contraexemplos.
Se x<1, então x^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “se x<1 então x³<x” é sempre verdadeiro no conjunto dos reais. O conteúdo envolvido é inequação polinomial e análise de sinal de produto de fatores, e vamos precisar fatorar x³–x e estudar o sinal de cada fator.

Passo 2

Reescrevemos a implicação como inequação: quando x<1, queremos saber se sempre vale x³<x. Subtraindo x de ambos os lados, isso é equivalente a x³x<0³. Fatorando o polinômio, temos
x³x = x,(x²1) = x,(x1),(x+1)³²

Passo 3

Para estudar x,(x1),(x+1)<0, analisamos os zeros dos fatores ( x=-1,0,1) e montamos o diagrama de sinais nos intervalos:
  • Em (∞,1), fatores: x(–), (x–1)(–), (x+1)(–) → produto (–)·(–)·(–) = (–) → inequação satisfeita.
  • Em (1,0), fatores: x(–), (x–1)(–), (x+1)(+) → produto (–)·(–)·(+) = (+) → inequação não satisfeita.
  • Em (0,1), fatores: x(+), (x–1)(–), (x+1)(+) → produto (+)·(–)·(+) = (–) → inequação satisfeita.
  • Em (1,∞), não interessa pois x<1.

Passo 4

Portanto, a inequação x³<x vale para x em (∞,1)cup(0,1), mas falha em (1,0].
Como a hipótese x<1 inclui valores em (1,0], a implicação não é verdadeira para todos os x<1. Um contraexemplo simples é x=-0.5: temos -0.5<1, mas
(-0.5)³ = -0.125 > -0.5,³
logo ³ falha para esse x.

Resposta

A sentença é falsa. Um contraexemplo é x = –0.5, pois –0.5 < 1 mas (–0.5)³ = –0.125 > –0.5.

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