Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
(a) sumn=1^infty 8(12)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a série infinita e dizer se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que nos ajudam a determinar a soma de termos que seguem uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é . Aqui:
  • O primeiro termo ( ) quando é .
  • A razão ( ) é .

Passo 3

Agora que identificamos e , precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica infinita, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso, . Isso significa que a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 81 - 12 = 812 = 8 times 2 = 16

Resposta

A série converge e a sua soma é 16.

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