Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a série infinita
e dizer se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que nos ajudam a determinar a soma de termos que seguem uma razão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é
. Aqui:
- O primeiro termo (
) quando é . - A razão (
) é .
Passo 3
Agora que identificamos
e
, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica infinita, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
.
No nosso caso,
. Isso significa que a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série converge e a sua soma é 16.