Determine a a integral das funções vetoriais seguintes:
r(t)=t-1t+1 i+t-2t j

Passo 1

Primeiro, resumindo: queremos integral r(t),dt com r(t)=t-1t+1,i+t-2t,j. Para integrar vetores, basta integrar cada componente separadamente usando regras como integral1,dt e integral1/t,dt.

Passo 2

Para a componente x: escrevemos t-1t+1=1-2t+1. Então
integralt-1t+1,dt=integral1,dt-2integral1t+1,dt=t-2ln|t+1|+C1

Passo 3

Para a componente y: fazemos t-2t=1-2t. Logo
integralt-2t,dt=integral1,dt-2integral1t,dt=t-2ln|t|+C2

Passo 4

Finalmente, juntamos as primitivas obtidas nas componentes x e y e definimos C=C1,i+C2,j. Assim temos a primitiva vetorial geral de r(t).

Resposta

[\n\int \vec{r}(t)\,dt = (t - 2 \ln|t+1|)\,\vec{i} + (t - 2 \ln|t|)\,\vec{j} + \vec{C}\n]

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