Seja f a função definida por f(x)=4 x^{3} cuja inversa é a função g. O valor de g^{\prime}(32) é
(A) \frac{4}{3}.
(B) \frac{1}{32}.
(C) \frac{1}{48}.
(D) \quad \frac{1}{4096}.
(E) \quad \frac{1}{6.2^{11}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está escrito abaixo:
  • A função f é definida por f(x)=4x^{3}.
  • A função g é a função inversa de f (ou seja, g=f^{-1}).
  • O que se pede: calcular o valor de g^{\prime}(32).

Passo 2

Ideia-chave (fórmula que vamos usar) e por que ela vale. Se g é a inversa de f então, para todo y no domínio de g,
f(g(y))=y.
Derivando ambos os lados em relação a y (usando a regra da cadeia), obtemos
f^{\prime}(g(y))\cdot g^{\prime}(y)=1.
Essa igualdade diz que a derivada da composição f\circ g é a derivada de f avaliada em g(y), vezes a derivada de g. Como a derivada do lado direito y é 1, isolando g^{\prime}(y) vem a fórmula útil:
g^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(g(y))}.
Explicando de forma simples: para achar a derivada da inversa num ponto y basta calcular a derivada de f no ponto que é a imagem inversa de y e inverter esse número.

Passo 3

Calcular f^{\prime}(x). Usamos a regra do expoente (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Para f(x)=4x^{3} tratamos o 4 como constante multiplicativa:
f^{\prime}(x)=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.
Aqui x é a variável; f^{\prime}(x) dá a inclinação da reta tangente à curva de f em x.

Passo 4

Precisamos de g(32) para usar a fórmula do Passo 2. Por definição de inversa, g(32) é o número x tal que f(x)=32. Então resolvemos
4x^{3}=32.
Dividindo ambos os lados por 4:
x^{3}=8.
A solução real é x=2 (pois 2^{3}=8). Logo
g(32)=2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 em y=32:
g^{\prime}(32)=\frac{1}{f^{\prime}(g(32))}.
Substituindo g(32)=2 e f^{\prime}(x)=12x^{2},
f^{\prime}(2)=12\cdot 2^{2}=12\cdot 4=48.
Portanto
g^{\prime}(32)=\frac{1}{48}.

Resposta

(C) \dfrac{1}{48}

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