Seja
a função definida por
cuja inversa é a função
. O valor de
é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está escrito abaixo:
- A função
é definida por . - A função
é a função inversa de (ou seja, ). - O que se pede: calcular o valor de
.
Passo 2
Ideia-chave (fórmula que vamos usar) e por que ela vale. Se
é a inversa de
então, para todo
no domínio de
,
Derivando ambos os lados em relação a
(usando a regra da cadeia), obtemos
Essa igualdade diz que a derivada da composição
é a derivada de
avaliada em
, vezes a derivada de
. Como a derivada do lado direito
é
, isolando
vem a fórmula útil:
Explicando de forma simples: para achar a derivada da inversa num ponto
basta calcular a derivada de
no ponto que é a imagem inversa de
e inverter esse número.
Passo 3
Calcular
. Usamos a regra do expoente (power rule): a derivada de
é
. Para
tratamos o
como constante multiplicativa:
Aqui
é a variável;
dá a inclinação da reta tangente à curva de
em
.
Passo 4
Precisamos de
para usar a fórmula do Passo 2. Por definição de inversa,
é o número
tal que
. Então resolvemos
Dividindo ambos os lados por
:
A solução real é
(pois
). Logo
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 em
:
Substituindo
e
,
Portanto
Resposta
(C)