Mostre que os limites abaixo não existem.
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} f(x, y), \operatorname{com} f(x, y)=\frac{x y-y}{x^{2}-2 x+3 x y-3 y+y^{2}+1} para (x, y) \neq(1,0).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação.
  • Pede: mostrar que \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) não existe.
  • Foi dada a função, para (x,y)\neq(1,0):
f(x,y)=\frac{x y - y}{x^{2}-2x+3xy-3y+y^{2}+1}.
  • Observação imediata: ao substituir (x,y)=(1,0) tanto o numerador quanto o denominador valem zero, então trata‑se de uma forma indeterminada do tipo 0/0; por isso precisamos investigar o comportamento quando (x,y) aproxima de (1,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Explicando o critério que vamos usar (de uma forma bem prática).
  • Para limites de funções de duas variáveis, o limite \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) existe se, e somente se, todas as maneiras (todos os caminhos) de aproximar (x,y) a (1,0) dão o mesmo valor limite.
  • Portanto um modo simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos de aproximação que produzam limites diferentes. Se obtivermos dois valores distintos então o limite total não pode existir.

Passo 3

Caminho 1: aproximar por y=0 (isto é, alongo o eixo x).
  • Substituindo y=0 em f (para x\neq1) temos
f(x,0)=\frac{x\cdot 0 - 0}{x^{2}-2x+3x\cdot 0 -3\cdot 0 +0^{2}+1} =\frac{0}{x^{2}-2x+1}.
  • Note que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}, portanto para x\neq1
f(x,0)=0.
  • Logo, ao aproximar (x,y)\to(1,0) ao longo de y=0 obtemos
\lim_{(x,0)\to(1,0)} f(x,0)=0.

Passo 4

Caminho 2: aproximar por x=1+y (reta que passa por (1,0) com inclinação 1).
  • Substituindo x=1+y na expressão de f (para y\neq0) calculamos separadamente numerador e denominador.
  • Numerador:
x y - y = (1+y)y - y = y + y^{2} - y = y^{2}.
  • Denominador: primeiro calcular termo a termo
x^{2}=(1+y)^{2}=1+2y+y^{2},
-2x=-2(1+y)=-2-2y,
3xy=3(1+y)y=3y+3y^{2},
-3y=-3y,\quad y^{2}=y^{2},\quad +1=+1.
Somando tudo:
(1+2y+y^{2})+(-2-2y)+(3y+3y^{2})+(-3y)+y^{2}+1.
Agrupando constantes, termos em y e em y^{2}:
  • constantes: 1-2+1=0,
  • coeficientes de y: 2y-2y+3y-3y=0,
  • coeficientes de y^{2}: y^{2}+3y^{2}+y^{2}=5y^{2}.
    Logo o denominador vale 5y^{2}.
  • Portanto, para y\neq0,
f(1+y,y)=\frac{y^{2}}{5y^{2}}=\frac{1}{5}.
  • Assim, ao aproximar (x,y)\to(1,0) ao longo da reta x=1+y,
\lim_{(1+y,y)\to(1,0)} f(1+y,y)=\frac{1}{5}.

Passo 5

Conclusão a partir dos dois caminhos.
  • Pelo Passo 3 obtivemos limite igual a 0 ao longo de y=0.
  • Pelo Passo 4 obtivemos limite igual a \tfrac{1}{5} ao longo de x=1+y.
  • Como 0\neq\tfrac{1}{5}, existem pelo menos dois caminhos com limites diferentes; portanto o limite total \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) não existe.

Passo 6

Observação extra (útil para a prova): família de retas x=1+ay.
  • Para reforçar a intuição, se aproximarmos por retas da forma x=1+ay (com a constante), repetindo cálculo semelhante obtemos
f(1+ay,y)=\frac{a\,y^{2}}{(a^{2}+3a+1)\,y^{2}}=\frac{a}{a^{2}+3a+1},
desde que a^{2}+3a+1\neq0. Assim diferentes valores de a produzem, em geral, diferentes limites; isso confirma de forma mais forte que não há um único limite quando (x,y)\to(1,0).

Resposta

O limite não existe.

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