Mostre que os limites abaixo não existem.
(a)
para
.
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação.
- Pede: mostrar que
não existe. - Foi dada a função, para
:
- Observação imediata: ao substituir
tanto o numerador quanto o denominador valem zero, então trata‑se de uma forma indeterminada do tipo ; por isso precisamos investigar o comportamento quando aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Explicando o critério que vamos usar (de uma forma bem prática).
- Para limites de funções de duas variáveis, o limite
existe se, e somente se, todas as maneiras (todos os caminhos) de aproximar a dão o mesmo valor limite. - Portanto um modo simples de provar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos de aproximação que produzam limites diferentes. Se obtivermos dois valores distintos então o limite total não pode existir.
Passo 3
Caminho 1: aproximar por
(isto é, alongo o eixo
).
- Substituindo
em (para ) temos
- Note que
, portanto para
- Logo, ao aproximar
ao longo de obtemos
Passo 4
Caminho 2: aproximar por
(reta que passa por
com inclinação
).
- Substituindo
na expressão de (para ) calculamos separadamente numerador e denominador. - Numerador:
- Denominador: primeiro calcular termo a termo
Somando tudo:
Agrupando constantes, termos em
e em
:
- constantes:
, - coeficientes de
: , - coeficientes de
: .
Logo o denominador vale. - Portanto, para
,
- Assim, ao aproximar
ao longo da reta ,
Passo 5
Conclusão a partir dos dois caminhos.
- Pelo Passo 3 obtivemos limite igual a
ao longo de . - Pelo Passo 4 obtivemos limite igual a
ao longo de . - Como
, existem pelo menos dois caminhos com limites diferentes; portanto o limite total não existe.
Passo 6
Observação extra (útil para a prova): família de retas
.
- Para reforçar a intuição, se aproximarmos por retas da forma
(com constante), repetindo cálculo semelhante obtemos
desde que
. Assim diferentes valores de
produzem, em geral, diferentes limites; isso confirma de forma mais forte que não há um único limite quando
.
Resposta
O limite não existe.