Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F(x) definida em I tal que F^prime(x)=f(x) para todo x em I. Por exemplo, a função F(x)=13 x^3 é uma primitiva de f(x)=x^2. Note também que qualquer função da forma F(x)=13 x^3+C, onde C representa uma constante, também é uma primitiva para f(x)=x^2. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
f(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar primitivas de f(x)=1/x num intervalo I (que deve excluir x=0), onde uma primitiva F satisfaz F′(x)=f(x). Para isso, vamos usar regras básicas de integração.

Passo 2

Lembramos da regra geral do integral de uma potência: para n≠−1, temos
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C

Passo 3

Observamos que no nosso caso n=−1, então a regra acima não vale (denominador zero). Em vez disso, usamos o resultado especial:
integral x^-1,dx=ln|x|+C, pois a derivada de ln|x| é 1/x.

Passo 4

Portanto, a primitiva geral de f(x)=1/x num intervalo que não contenha zero é
F(x)=ln|x|+C

Resposta

F(x)=\ln|x|+C

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