Seja
uma função definida num intervalo
. Uma primitiva de
em
é uma função
definida em
tal que
para todo
em I. Por exemplo, a função
é uma primitiva de
. Note também que qualquer função da forma
, onde
representa uma constante, também é uma primitiva para
. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=cos(x)−sen(x). O conteúdo aqui é antiderivação (primitivas), e vamos usar que uma primitiva F satisfaz F′(x)=f(x) e que podemos integrar termo a termo.
Passo 2
Pelo princípio da linearidade da integral, temos:
Usando as integrais básicas: e
.
Substituindo, obtemos , ou seja,
, onde C é constante.
Usando as integrais básicas:
Substituindo, obtemos
Passo 3
Conferindo, derivando F(x)=sen x+cos x+C, vem F′(x)=cos x−sen x, que é exatamente f(x).
Resposta
Uma primitiva geral é F(x)=\sin x+\cos x+C, com C constante.