Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F(x) definida em I tal que F^prime(x)=f(x) para todo x em I. Por exemplo, a função F(x)=13 x^3 é uma primitiva de f(x)=x^2. Note também que qualquer função da forma F(x)=13 x^3+C, onde C representa uma constante, também é uma primitiva para f(x)=x^2. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
f(x)=cos (x)-sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=cos(x)−sen(x). O conteúdo aqui é antiderivação (primitivas), e vamos usar que uma primitiva F satisfaz F′(x)=f(x) e que podemos integrar termo a termo.

Passo 2

Pelo princípio da linearidade da integral, temos: integrall(cos x-sin xr),dx = integralcos x,dx ; - ; integralsin x,dx
Usando as integrais básicas: integralcos x,dx=sin x e integralsin x,dx=-cos x.
Substituindo, obtemos F(x)=sin x -(-cos x)+C, ou seja, F(x)=sin x+cos x+C, onde C é constante.

Passo 3

Conferindo, derivando F(x)=sen x+cos x+C, vem F′(x)=cos x−sen x, que é exatamente f(x).

Resposta

Uma primitiva geral é F(x)=\sin x+\cos x+C, com C constante.

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