Verifique que o par de funções , onde uma constante, forma uma base de soluções da equação diferencial .
Passo 1
A equação diferencial dada é de segunda ordem com coeficientes constantes: . Pelo conteúdo teórico, o polinômio característico é , ou seja, há uma raiz dupla . Para mostrar que é base de soluções, precisamos: (1) verificar que ambas satisfazem a EDO e (2) checar que são linearmente independentes (Wronskiano não nulo).
Passo 2
Vamos testar . Calculando derivadas:
Substituindo em :
Logo, é solução.
Passo 3
Agora vamos em . Derivadas:
Substituindo:
Então também é solução.
Passo 4
Para verificar independência, calculemos o Wronskiano:
$$W(y_1,y_2)=
=e{mx}(e{mx}+mx e^{mx})-m e^{mx}(x e{mx})=e{2mx}\neq0$$
como e^2mx nunca zera.
Passo 5
Como y1 e y2 são soluções e têm Wronskiano não nulo em (-infty,infty), elas são linearmente independentes e formam uma base de soluções da EDO.
Resposta
O conjunto de soluções fundamentais é e^mx,,x e^mx, que forma uma base de soluções da equação diferencial dada.