Verifique que o par de funções e^m x, x e^m x, onde m uma constante, forma uma base de soluções da equação diferencial y^prime prime-2 m y^prime+m^2 y=0 em(-infty, infty).

Passo 1

A equação diferencial dada é de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-2m y'+m^2y=0. Pelo conteúdo teórico, o polinômio característico é r^2-2mr+m^2=(r-m)^2, ou seja, há uma raiz dupla r=m. Para mostrar que e^mx,xe^mx é base de soluções, precisamos: (1) verificar que ambas satisfazem a EDO e (2) checar que são linearmente independentes (Wronskiano não nulo).

Passo 2

Vamos testar y1(x)=e^mx. Calculando derivadas:
y1'=m e^mx,
y1''=m^2 e^mx
Substituindo em y''-2m y'+m^2y:
m^2e^mx-2m(m e^mx)+m^2(e^mx)=(m^2-2m^2+m^2)e^mx=0
Logo, y1 é solução.

Passo 3

Agora vamos em y2(x)=x e^mx. Derivadas:
y2'=e^mx+mx e^mx,
y2''=m e^mx+m e^mx+m^2x e^mx=2m e^mx+m^2x e^mx
Substituindo:
y2''-2m y2'+m^2y2=(2m e^mx+m^2x e^mx)-2m(e^mx+mx e^mx)+m^2(x e^mx)=0
Então y2 também é solução.

Passo 4

Para verificar independência, calculemos o Wronskiano:
$$W(y_1,y_2)= W(y1,y2)=e^mx&x e^mxm e^mx&e^mx+mx e^mx =e^mx(e^mx+mx e^mx)-m e^mx(x e^mx)=e^2mxneq0
=e{mx}(e{mx}+mx e^{mx})-m e^{mx}(x e{mx})=e{2mx}\neq0$$
como e^2mx nunca zera.

Passo 5

Como y1 e y2 são soluções e têm Wronskiano não nulo em (-infty,infty), elas são linearmente independentes e formam uma base de soluções da EDO.

Resposta

O conjunto de soluções fundamentais é e^mx,,x e^mx, que forma uma base de soluções da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados