Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime+y^prime=2 x+3 e^x;

Passo 1

Temos a EDO y''+y'=2x+3e^x. O conteúdo aqui é EDO linear de 2ª ordem não homogênea, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular yp.

Passo 2

Para o termo polinomial 2x, propomos uma solução da forma yp1=ax^2+bx+c. Calculando derivadas:
y'p1=2ax+b,
y''p1=2a
Substituindo em y''+y':
y''p1+y'p1=2a+(2ax+b)=2ax+(2a+b)
Comparando com 2x:
coeficiente de x: 2a=2 a=1;
termo constante: 2a+b=0 2+b=0 b=-2.
Podemos escolher c=0 para simplificar, então
yp1=x^2-2x

Passo 3

Para o termo exponencial 3e^x, propomos yp2=Ce^x. Então
y'p2=Ce^x,
y''p2=Ce^x
Logo
y''p2+y'p2=Ce^x+Ce^x=2Ce^x,
que deve ser igual a 3e^x. Daí 2C=3 C=tfrac32.
Portanto
yp2=tfrac32e^x

Passo 4

A solução particular geral é a soma das partes polinomial e exponencial:
yp=yp1+yp2=x^2-2x+tfrac32e^x

Resposta

yp=x^2-2x+tfrac32e^x

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