Seja a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-3 x}{x^{3}-8 x}, \text { se } x \neq 0 \text { e } x \neq \pm 2 \sqrt{2} \\\\ 1-m, \text { se } x=0\end{array}\right.. Calcule m para que f seja contínua em x=0.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função é dada por
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-3x}{x^{3}-8x}, & \text{se } x\neq 0 \text{ e } x\neq \pm 2\sqrt{2},\\[6pt] 1-m, & \text{se } x=0. \end{cases}
  • A pergunta é: “Calcule m para que f seja contínua em x=0.”
Ou seja, preciso escolher m de modo que não haja descontinuidade em x=0.]

Passo 2

Lembrete teórico (muito importante para a prova): a função f é contínua em x=0 se, e somente se, os três itens abaixo forem verdadeiros:
  1. f(0) está definido (aqui já está: f(0)=1-m).
  2. \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) existe.
  3. \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Portanto, para garantir continuidade em x=0 precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) usando a expressão válida para x\neq 0 e igualar esse limite a 1-m.

Passo 3

Vamos calcular o limite usando a expressão para x\neq 0:
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}-3x}{x^{3}-8x}.
Primeiro fatoramos numerador e denominador: ambos têm um fator x. Faço isso passo a passo.
Fatorando o numerador:
x^{2}-3x = x(x-3).
Fatorando o denominador:
x^{3}-8x = x(x^{2}-8).
Note que x^{2}-8=(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}), mas não precisamos desenvolver esses fatores para o limite em 0.

Passo 4

Como estamos tomando o limite quando x\to 0 e a expressão considerada é válida apenas para x\neq 0, podemos cancelar o fator comum x (pois para x\neq 0 esse cancelamento é legítimo). Após cancelar x obtemos a expressão simplificada:
\frac{x^{2}-3x}{x^{3}-8x}=\frac{x(x-3)}{x(x^{2}-8)}=\frac{x-3}{x^{2}-8}\qquad (\text{para } x\neq 0).
Agora calculamos o limite substituindo x=0 na função simplificada — isso é permitido porque a função simplificada é contínua em 0 (não há divisão por zero em x=0 já que 0^{2}-8=-8\neq 0):
\lim_{x\to 0}\frac{x-3}{x^{2}-8}=\frac{0-3}{0^{2}-8}=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8}.

Passo 5

Pelo critério de continuidade, precisamos ter
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Substituindo os valores que temos:
\frac{3}{8}=1-m.
Agora resolvemos para m:
m=1-\frac{3}{8}=\frac{8}{8}-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: ocorreu uma descontinuidade removível na expressão original por causa do fator x comum. Cancelando esse fator (válido para x\neq 0) obtemos uma expressão que tem limite finito em 0. Para que a função seja contínua no ponto, basta ajustar o valor em x=0 (ou seja, escolher m) para igualar esse limite. Técnica muito útil em prova: sempre fatorar e cancelar fatores comuns quando houver indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Resposta

\displaystyle m=\frac{5}{8}

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