Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-x+4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right).
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=x^{2}-x+4.
  • Queremos o valor de f(x) quando x se aproxima de 2.

Passo 2

O que significa calcular esse limite, de forma simples e prática:
  • \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a.
  • Se a função f for contínua no ponto a, então vale a propriedade
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso quer dizer que, para funções contínuas, basta calcular o valor da função no ponto.

Passo 3

Por que a função f(x)=x^{2}-x+4 é contínua em x=2 (na verdade, é contínua em todo \mathbb{R})?
  • Funções polinomiais são construídas por somas e produtos de funções básicas x\mapsto x e constantes.
  • As funções x\mapsto x e x\mapsto x^{2} são contínuas; somas e produtos de funções contínuas são contínuos.
  • Portanto f(x)=x^{2}-x+4 é contínua em x=2, e podemos aplicar a propriedade do passo anterior:
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right)=f(2).

Passo 4

Calcule f(2) por substituição direta, fazendo as contas passo a passo:
f(2)=2^{2}-2+4.
Calcular cada termo:
2^{2}=4,
4-2=2,
2+4=6.
Portanto f(2)=6.

Passo 5

Concluímos que o limite pedido é igual a 6. Bom trabalho! Se quiser, posso mostrar como seria com a definição formal (epsilon–delta), mas para provas de cálculo normalmente basta usar continuidade de polinômios e substituição direta.

Resposta

6

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