Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais expressões temos para cada item. São seis limites a calcular:
(a) \lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right).
(b) \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-1}.
(c) \lim_{x\to -2}\dfrac{x^{2}-4}{x+2}.
(d) \lim_{x\to 5}\dfrac{x^{2}-5x}{x^{2}-25}.
(e) \lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-4}.
(f) \lim_{x\to 2}\dfrac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Para cada item temos uma função (polinomial ou racional) e um ponto de aproximação x (por exemplo x\to2, x\to4, etc.).
Em alguns casos o denominador pode ser zero no ponto; nesses casos teremos que manipular a expressão (fatorar e simplificar) porque a substituição direta dá forma indeterminada 0/0.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática e concreta):
Continuidade e substituição direta:
Um polinômio p(x) é contínuo para todo x. Isso significa que \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Na prática: para um polinômio dá para calcular o limite apenas substituindo x=a.
Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} (onde p,q são polinômios) é contínua em todo ponto onde q(x)\neq0; então, se q(a)\neq0, \lim_{x\to a}\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(a)}{q(a)}.
Indeterminação 0/0 e fatoração:
Se ao substituir x=a numa razão obtemos \dfrac{0}{0}, isso é uma forma indeterminada. O procedimento padrão (sem usar L’Hôpital neste nível básico) é fatorar numerador e denominador para cancelar um fator comum (x-a) e então avaliar o limite da expressão simplificada.
Exemplos úteis de fatoração:
Diferença de quadrados: x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Fatoração de um polinômio quadrático x^{2}+bx+c em (x-r_1)(x-r_2) quando existir fatoração por raízes.
Após cancelar o fator (x-a), a nova função costuma ser contínua em a e podemos substituir.
Vou aplicar essas ideias passo a passo aos seis limites.
Passo 3
Item (a): \lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right).
Por ser um polinômio, a função é contínua em todo ponto. Logo basta substituir x=2:
x^{2}-x+4 \big|_{x=2} = 2^{2}-2+4 = 4-2+4 = 6.
Portanto o limite é 6.
Passo 4
Item (b): \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-1}.
Verifico o denominador em x=4: x-1\big|_{x=4}=4-1=3, que é diferente de zero. Como numerador e denominador são polinômios e o denominador não anula em 4, a função racional é contínua em x=4 e valem as regras de substituição direta:
Primeiro substituo para checar: numerador x^{2}-4\big|_{x=-2}=(-2)^{2}-4=4-4=0. Denominador x+2\big|_{x=-2}=-2+2=0. Temos 0/0, forma indeterminada — precisamos fatorar.
Reconheço no numerador uma diferença de quadrados:
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2} = (x-2)(x+2).
Então a fração é
\frac{x^{2}-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}.
Para x\neq -2 podemos cancelar o fator (x+2):
\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2 \qquad (x\neq -2).
Agora o limite quando x\to -2 da expressão simplificada é simplesmente
Fatoro o numerador procurando fatores lineares. Testando fatoração por grupos ou tentando raízes racionais, noto que x=2 é raiz do numerador (pois substituí e deu zero), então (x-2) é fator. Realizando a divisão ou buscando fatores: