Calcule os seguintes limites:
a) \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-x+4\right)
b) \lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x+1}{x-1}
c) \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}
d) \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-5 x}{x^{2}-25}
e) \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-7 x+12}{x-4}
f) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}-7 x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais expressões temos para cada item. São seis limites a calcular:
  • (a) \lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right).
  • (b) \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-1}.
  • (c) \lim_{x\to -2}\dfrac{x^{2}-4}{x+2}.
  • (d) \lim_{x\to 5}\dfrac{x^{2}-5x}{x^{2}-25}.
  • (e) \lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-4}.
  • (f) \lim_{x\to 2}\dfrac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para cada item temos uma função (polinomial ou racional) e um ponto de aproximação x (por exemplo x\to2, x\to4, etc.).
  • Em alguns casos o denominador pode ser zero no ponto; nesses casos teremos que manipular a expressão (fatorar e simplificar) porque a substituição direta dá forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática e concreta):
  1. Continuidade e substituição direta:
    • Um polinômio p(x) é contínuo para todo x. Isso significa que \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Na prática: para um polinômio dá para calcular o limite apenas substituindo x=a.
    • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} (onde p,q são polinômios) é contínua em todo ponto onde q(x)\neq0; então, se q(a)\neq0, \lim_{x\to a}\dfrac{p(x)}{q(x)}=\dfrac{p(a)}{q(a)}.
  2. Indeterminação 0/0 e fatoração:
    • Se ao substituir x=a numa razão obtemos \dfrac{0}{0}, isso é uma forma indeterminada. O procedimento padrão (sem usar L’Hôpital neste nível básico) é fatorar numerador e denominador para cancelar um fator comum (x-a) e então avaliar o limite da expressão simplificada.
    • Exemplos úteis de fatoração:
      • Diferença de quadrados: x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
      • Fatoração de um polinômio quadrático x^{2}+bx+c em (x-r_1)(x-r_2) quando existir fatoração por raízes.
    • Após cancelar o fator (x-a), a nova função costuma ser contínua em a e podemos substituir.
Vou aplicar essas ideias passo a passo aos seis limites.

Passo 3

Item (a): \lim_{x\to 2}\left(x^{2}-x+4\right).
Por ser um polinômio, a função é contínua em todo ponto. Logo basta substituir x=2:
x^{2}-x+4 \big|_{x=2} = 2^{2}-2+4 = 4-2+4 = 6.
Portanto o limite é 6.

Passo 4

Item (b): \lim_{x\to 4}\dfrac{2x+1}{x-1}.
Verifico o denominador em x=4: x-1\big|_{x=4}=4-1=3, que é diferente de zero. Como numerador e denominador são polinômios e o denominador não anula em 4, a função racional é contínua em x=4 e valem as regras de substituição direta:
\frac{2x+1}{x-1}\bigg|_{x=4}=\frac{2\cdot 4 + 1}{4-1}=\frac{8+1}{3}=\frac{9}{3}=3.
Logo o limite é 3.

Passo 5

Item (c): \lim_{x\to -2}\dfrac{x^{2}-4}{x+2}.
Primeiro substituo para checar: numerador x^{2}-4\big|_{x=-2}=(-2)^{2}-4=4-4=0. Denominador x+2\big|_{x=-2}=-2+2=0. Temos 0/0, forma indeterminada — precisamos fatorar.
Reconheço no numerador uma diferença de quadrados:
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2} = (x-2)(x+2).
Então a fração é
\frac{x^{2}-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}.
Para x\neq -2 podemos cancelar o fator (x+2):
\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2 \qquad (x\neq -2).
Agora o limite quando x\to -2 da expressão simplificada é simplesmente
\lim_{x\to -2} (x-2) = (-2)-2 = -4.
Portanto o limite é -4.

Passo 6

Item (d): \lim_{x\to 5}\dfrac{x^{2}-5x}{x^{2}-25}.
Verifico substituição direta: numerador x^{2}-5x\big|_{x=5}=25-25=0. Denominador x^{2}-25\big|_{x=5}=25-25=0. Novamente temos 0/0; vamos fatorar.
Fatoro o numerador e o denominador:
x^{2}-5x = x(x-5),
x^{2}-25 = (x-5)(x+5) \quad\text{(diferença de quadrados).}ç
A fração fica
\frac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}.
Para x\neq 5 cancela-se (x-5), restando
\frac{x}{x+5}.
Agora avalio no ponto x=5:
\frac{x}{x+5}\bigg|_{x=5} = \frac{5}{5+5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.
Logo o limite é \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Item (e): \lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-4}.
Substituição direta: numerador x^{2}-7x+12\big|_{x=4}=16-28+12=0. Denominador x-4\big|_{x=4}=0. Forma indeterminada 0/0; fatorar o numerador.
Procuro dois números cuja soma é -7 e produto 12. Esses números são -3 e -4. Assim
x^{2}-7x+12 = (x-3)(x-4).
A fração torna-se
\frac{(x-3)(x-4)}{x-4}.
Para x\neq 4 cancela-se (x-4), sobrando x-3. Portanto
\lim_{x\to 4} \frac{x^{2}-7x+12}{x-4} = \lim_{x\to 4} (x-3) = 4-3 = 1.
O limite é 1.

Passo 8

Item (f): \lim_{x\to 2}\dfrac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4}.
Substituição direta: numerador 3x^{2}-7x+2\big|_{x=2}=3\cdot4 -14 +2 =12-14+2=0. Denominador x^{2}-4\big|_{x=2}=4-4=0. Temos 0/0, então fatoramos.
Fatoro o numerador procurando fatores lineares. Testando fatoração por grupos ou tentando raízes racionais, noto que x=2 é raiz do numerador (pois substituí e deu zero), então (x-2) é fator. Realizando a divisão ou buscando fatores:
3x^{2}-7x+2 = (3x-1)(x-2).
(Conferência: (3x-1)(x-2)=3x^{2}-6x -x +2 = 3x^{2}-7x+2.)
O denominador é diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
A razão é
\frac{(3x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
Para x\neq 2 cancela-se (x-2), ficando
\frac{3x-1}{x+2}.
Agora avalio o limite em x=2:
\frac{3x-1}{x+2}\bigg|_{x=2} = \frac{3\cdot 2 -1}{2+2} = \frac{6-1}{4} = \frac{5}{4}.
Logo o limite é \tfrac{5}{4}.

Passo 9

Resumo rápido dos métodos aplicados (para você lembrar na prova):
  • Se ao substituir o ponto o denominador não é zero, usa-se substituição direta (continuidade).
  • Se dá 0/0, fatorar numerador e denominador para cancelar o fator (x-a) que provoca a indeterminação e avaliar a expressão simplificada.
  • Fatores comuns que aparecem muito: diferença de quadrados x^{2}-a^{2} e fatoração de quadráticos via soma/produto das raízes.

Resposta

(a) 6
(b) 3
(c) -4
(d) \tfrac{1}{2}
(e) 1
(f) \tfrac{5}{4}

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