Calcule os limites:
a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x^{2}-4}
b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{1}{x^{2}-4}
c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x^{2}-4}
d) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}}
e) \lim _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{x^{2}-3 x-10}{x^{2}-10 x+25}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações relevantes dadas (sem resolver ainda).
O enunciado pede calcular cinco limites:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x^{2}-4}.
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x^{2}-4}.
  • (c) \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x^{2}-4}.
  • (d) \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  • (e) \displaystyle \lim_{x\to 5^{+}} \frac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-10x+25}.
Informações relevantes que já podemos notar:
  • O denominador de (a),(b),(c) é x^{2}-4=(x-2)(x+2). Em x=2 o denominador vale zero, logo existe uma possível descontinuidade vertical aí.
  • O denominador de (e) é x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}. Em x=5 o denominador também é zero.
  • Em (d) o denominador é x^{2}, que é zero em x=0, portanto também pode haver crescimento sem limite.
Agora começamos a resolver caso a caso.

Passo 2

Conceitos e técnicas que vamos usar (explicação didática e prática):
  1. Fatoração e análise de sinais:
  • Fatorar um polinômio nos ajuda a ver quais fatores ficam pequenos (tendem a zero) quando x tende a um ponto. Por exemplo, se aparece um fator (x-a), quando x\to a esse fator tende a 0.
  • Para determinar o sinal de uma expressão próxima a um ponto, analisamos o sinal de cada fator próximo a esse ponto e multiplicamos os sinais.
  1. Limites que divergem para \pm\infty:
  • Se o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a um número não nulo, a fração tende a infinito em módulo. O sinal (mais ou menos infinito) depende do sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador quando este último é muito pequeno.
  • Uma desigualdade importante: para x próximo de, mas não igual a, a, se \operatorname{sgn}(\text{denominador}) for positiva e muito pequena, então 1/(\text{denominador}) é grande positiva; se for negativa e muito pequena, então 1/(\text{denominador}) é grande negativa.
  1. Limite bilateral vs. limites laterais:
  • A existência do limite \lim_{x\to a} f(x) requer que \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existam e sejam iguais.
  • Se os limites laterais forem \pm\infty mas com sinais diferentes, o limite bilateral não existe.
  1. Simplificação algébrica quando possível:
  • Às vezes é útil simplificar a expressão (por exemplo fatorando e cancelando fatores) mas atenção: não se pode cancelar um fator que é zero exatamente no ponto de interesse sem considerar limites laterais (o cancelamento altera a função no ponto mas pode preservar o comportamento ao redor).
Com essas ideias, vamos calcular cada item detalhadamente.

Passo 3

Cálculo do item (a): \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x^{2}-4}.
  1. Fatoro o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  1. Para x próximo a 2 pela direita (isto é, x\to 2^{+}), temos:
  • (x-2)>0 e pequeno (pois x está um pouco maior que 2);
  • (x+2) tende para 4 e é positivo (aproximadamente 4).
  1. Então o produto (x-2)(x+2) tende a 0 pela direita e é positivo (pequeno positivo). Logo o denominador tende a 0^{+}.
  2. Portanto \displaystyle \frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{\text{denominador}} tende para +\infty quando x\to 2^{+}.
Concluímos:
\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x^{2}-4}=+\infty.

Passo 4

Cálculo do item (b): \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x^{2}-4}.
  1. Usando a mesma fatoração (x-2)(x+2).
  2. Para x próximo a 2 pela esquerda (isto é, x\to 2^{-}):
  • (x-2)<0 e com valor absoluto pequeno (pois x está um pouco menor que 2);
  • (x+2) ainda tende a 4 e é positivo.
  1. O produto (x-2)(x+2) tende a 0 pela esquerda e é negativo (pequeno negativo). Assim o denominador tende a 0^{-}.
  2. Consequentemente \frac{1}{x^{2}-4} tende para -\infty quando x\to 2^{-}.
Concluímos:
\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x^{2}-4}=-\infty.

Passo 5

Cálculo do item (c): \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x^{2}-4}.
  1. Pelo passo (3) e (4) já temos as duas limites laterais:
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x^{2}-4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x^{2}-4}=-\infty.
  1. Como os limites laterais existem mas são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 2} não existe (não há um único valor ou mesmo um único tipo de infinito comum).
Concluímos:
\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x^{2}-4}\\ \text{não existe}.ã

Passo 6

Cálculo do item (d): \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  1. Simplifico a expressão algébrica escrevendo a fração como soma:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=1+\frac{1}{x^{2}}.
Aqui expliquei cada termo: \frac{x^{2}}{x^{2}}=1 para x\neq 0, e sobra \frac{1}{x^{2}}.
  1. Quando x\to 0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), x^{2}\to 0^{+}. Logo \displaystyle \frac{1}{x^{2}}\to +\infty porque o inverso de um número positivo muito pequeno é um número muito grande positivo.
  2. Assim 1+\dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty.
Concluímos:
\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}}=+\infty.

Passo 7

Cálculo do item (e): \displaystyle \lim_{x\to 5^{+}} \frac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-10x+25}.
  1. Faço fatoração de numerador e denominador:
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2), \qquad x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}.
  1. Então a função pode ser escrita como
\frac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-10x+25}=\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)^{2}}=\frac{x+2}{x-5}, \qquad\text{para }x\neq 5.
Obs.: não “cancelamos” de forma imprudente — aqui a simplificação é válida para analisar o comportamento quando x se aproxima de 5 mas x\neq 5.
  1. Agora analiso a expressão simplificada quando x\to 5^{+}:
  • O numerador x+2 tende para 7, que é positivo e diferente de zero.
  • O denominador x-5 tende para 0^{+} (pois é aproximado de valores um pouco maiores que 0 quando x>5).
  1. Então \dfrac{x+2}{x-5} tem numerador aproximadamente 7 e denominador um número positivo muito pequeno, logo a fração tende para +\infty.
Concluímos:
\displaystyle \lim_{x\to 5^{+}} \frac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-10x+25}=+\infty.

Resposta

(a) +\infty
(b) -\infty
(c) não existe
(d) +\infty
(e) +\infty

Exercícios relacionados