Calcule os limites:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações relevantes dadas (sem resolver ainda).
O enunciado pede calcular cinco limites:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
.
Informações relevantes que já podemos notar:
- O denominador de (a),(b),(c) é
. Em o denominador vale zero, logo existe uma possível descontinuidade vertical aí. - O denominador de (e) é
. Em o denominador também é zero. - Em (d) o denominador é
, que é zero em , portanto também pode haver crescimento sem limite.
Agora começamos a resolver caso a caso.
Passo 2
Conceitos e técnicas que vamos usar (explicação didática e prática):
- Fatoração e análise de sinais:
- Fatorar um polinômio nos ajuda a ver quais fatores ficam pequenos (tendem a zero) quando
tende a um ponto. Por exemplo, se aparece um fator , quando esse fator tende a . - Para determinar o sinal de uma expressão próxima a um ponto, analisamos o sinal de cada fator próximo a esse ponto e multiplicamos os sinais.
- Limites que divergem para
:
- Se o denominador tende a
enquanto o numerador tende a um número não nulo, a fração tende a infinito em módulo. O sinal (mais ou menos infinito) depende do sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador quando este último é muito pequeno. - Uma desigualdade importante: para
próximo de, mas não igual a, , se for positiva e muito pequena, então é grande positiva; se for negativa e muito pequena, então é grande negativa.
- Limite bilateral vs. limites laterais:
- A existência do limite
requer que e existam e sejam iguais. - Se os limites laterais forem
mas com sinais diferentes, o limite bilateral não existe.
- Simplificação algébrica quando possível:
- Às vezes é útil simplificar a expressão (por exemplo fatorando e cancelando fatores) mas atenção: não se pode cancelar um fator que é zero exatamente no ponto de interesse sem considerar limites laterais (o cancelamento altera a função no ponto mas pode preservar o comportamento ao redor).
Com essas ideias, vamos calcular cada item detalhadamente.
Passo 3
Cálculo do item (a):
.
- Fatoro o denominador:
- Para
próximo a pela direita (isto é, ), temos:
-
e pequeno (pois está um pouco maior que ); -
tende para e é positivo (aproximadamente ).
-
Então o produto
tende a pela direita e é positivo (pequeno positivo). Logo o denominador tende a . -
Portanto
tende para quando .
Concluímos:
Passo 4
Cálculo do item (b):
.
-
Usando a mesma fatoração
. -
Para
próximo a pela esquerda (isto é, ):
-
e com valor absoluto pequeno (pois está um pouco menor que ); -
ainda tende a e é positivo.
-
O produto
tende a pela esquerda e é negativo (pequeno negativo). Assim o denominador tende a . -
Consequentemente
tende para quando .
Concluímos:
Passo 5
Cálculo do item (c):
.
- Pelo passo (3) e (4) já temos as duas limites laterais:
- Como os limites laterais existem mas são diferentes (um vai para
e o outro para ), o limite bilateral não existe (não há um único valor ou mesmo um único tipo de infinito comum).
Concluímos:
Passo 6
Cálculo do item (d):
.
- Simplifico a expressão algébrica escrevendo a fração como soma:
Aqui expliquei cada termo:
para
, e sobra
.
-
Quando
(tanto pela direita quanto pela esquerda), . Logo porque o inverso de um número positivo muito pequeno é um número muito grande positivo. -
Assim
.
Concluímos:
Passo 7
Cálculo do item (e):
.
- Faço fatoração de numerador e denominador:
- Então a função pode ser escrita como
Obs.: não “cancelamos” de forma imprudente — aqui a simplificação é válida para analisar o comportamento quando
se aproxima de
mas
.
- Agora analiso a expressão simplificada quando
:
- O numerador
tende para , que é positivo e diferente de zero. - O denominador
tende para (pois é aproximado de valores um pouco maiores que quando ).
- Então
tem numerador aproximadamente e denominador um número positivo muito pequeno, logo a fração tende para .
Concluímos:
Resposta
(a)
(b)
(c) não existe
(d)
(e)
(b)
(c) não existe
(d)
(e)