Seja f: R R a função definida por f(x)=-3 a^x onde a in R, 0. Sobre as informações:
i. f(x+y)=f(x) cdot f(y), forall x, y in R.
ii. f é bijetora.
iii. f é crescente e f(] 0,+infty[)=]-3,0[.
Podemos concluir que: todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f: ℝ→ℝ dada por f(x)=-3,a^x com 0. Vamos usar conceitos de propriedades de funções exponenciais (como a^x+y=a^x a^y), monotonicidade e bijetividade.

Passo 2

Para verificar a afirmativa i, calculamos:
f(x+y)=-3,a^x+y=-3,a^x a^y
e
f(x)cdot f(y)=(-3,a^x)cdot(-3,a^y)=9,a^x+y
Como -3,a^x a^yneq9,a^x+y, a propriedade f(x+y)=f(x)f(y) é falsa.

Passo 3

Para a afirmação ii, observamos que f(x)=-3,a^x varia de -infty (quando xto-infty) até 0 (quando xto+infty). Logo, o contradomínio é ℝ, mas a imagem real é (-infty,0), então f não é sobrejetora em ℝ. Mesmo sendo injetora por ser estritamente crescente, ela falha em ser bijetora.

Passo 4

Na afirmativa iii, notamos que para 0, a função a^x é decrescente em x. Multiplicando por -3<0, o sinal inverte e f se torna crescente. Além disso, para x>0, temos a^xin(0,1), então
f(]0,+infty[)=-3,a^xin(-3,0)
Portanto, iii é verdadeira.

Passo 5

Concluindo, as afirmações i e ii são falsas e iii é verdadeira. Dessa forma, a afirmação “todas as afirmações são falsas” é incorreta.

Resposta

A conclusão “todas as afirmações são falsas” é falsa: apenas i e ii são falsas, enquanto iii é verdadeira.

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