Seja
a função definida por
onde
. Sobre as informações:
i.
.
ii.
é bijetora.
iii.
é crescente e
.
Podemos concluir que: todas as afirmações são falsas.
i.
ii.
iii.
Podemos concluir que: todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função f: ℝ→ℝ dada por
com
. Vamos usar conceitos de propriedades de funções exponenciais (como
), monotonicidade e bijetividade.
Passo 2
Para verificar a afirmativa i, calculamos:
e
Como
, a propriedade
é falsa.
Passo 3
Para a afirmação ii, observamos que
varia de
(quando
) até
(quando
). Logo, o contradomínio é ℝ, mas a imagem real é
, então f não é sobrejetora em ℝ. Mesmo sendo injetora por ser estritamente crescente, ela falha em ser bijetora.
Passo 4
Na afirmativa iii, notamos que para
, a função
é decrescente em x. Multiplicando por
, o sinal inverte e f se torna crescente. Além disso, para
, temos
, então
Portanto, iii é verdadeira.
Passo 5
Concluindo, as afirmações i e ii são falsas e iii é verdadeira. Dessa forma, a afirmação “todas as afirmações são falsas” é incorreta.
Resposta
A conclusão “todas as afirmações são falsas” é falsa: apenas i e ii são falsas, enquanto iii é verdadeira.