Dado o campo de vetores , calcule , onde a curva C dada pela interseção das superfícies z=x^2+y^2 e -2 x+2 y+z+1=0 e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, do ponto (2,-1,5) ao ponto (0,-1,1).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. O problema nos dá um campo de vetores F(x, y, z) = z i + x j e nos pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo de uma curva C. A curva C é definida pela interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e -2x + 2y + z + 1 = 0, orientada no sentido anti-horário visto de cima, indo do ponto (2, -1, 5) ao ponto (0, -1, 1).
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Campo Vetorial: Saber como trabalhar com vetores e integrais de linha.
Curvas no Espaço: Entender como parametrizar a curva C que é a interseção de duas superfícies.
Integral de Linha: Calcular a integral de F cdot d r ao longo da curva.
Vamos por partes para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva C que é a interseção das duas superfícies dadas:
z = x^2 + y^2 — Isso é uma parábola circular que abre para cima.
-2x + 2y + z + 1 = 0 — Podemos reescrever isso como z = 2x - 2y - 1, que é um plano inclinado.
Para encontrar a interseção dessas duas superfícies, substituímos a expressão de z do plano na equação da parábola:
2x - 2y - 1 = x^2 + y^2
Rearranjando os termos:
x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0
Essa é a equação de um círculo. Para entender melhor, vamos completar os quadrados.
Passo 3
Vamos completar os quadrados para analisar a equação: