(3,0 pts) Dado o campo de vetores F(x, y, z)=z i+x j, calcule integralC F cdot d r, onde a curva C dada pela interseção das superfícies z=x^2+y^2 e -2 x+2 y+z+1=0 e orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, do ponto (2,-1,5) ao ponto (0,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. O problema nos dá um campo de vetores F(x, y, z) = z i + x j e nos pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo de uma curva C. A curva C é definida pela interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e -2x + 2y + z + 1 = 0, orientada no sentido anti-horário visto de cima, indo do ponto (2, -1, 5) ao ponto (0, -1, 1).
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Campo Vetorial: Saber como trabalhar com vetores e integrais de linha.
  2. Curvas no Espaço: Entender como parametrizar a curva C que é a interseção de duas superfícies.
  3. Integral de Linha: Calcular a integral de F cdot d r ao longo da curva.
Vamos por partes para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva C que é a interseção das duas superfícies dadas:
  1. z = x^2 + y^2 — Isso é uma parábola circular que abre para cima.
  2. -2x + 2y + z + 1 = 0 — Podemos reescrever isso como z = 2x - 2y - 1, que é um plano inclinado.
Para encontrar a interseção dessas duas superfícies, substituímos a expressão de z do plano na equação da parábola:
2x - 2y - 1 = x^2 + y^2
Rearranjando os termos:
x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0
Essa é a equação de um círculo. Para entender melhor, vamos completar os quadrados.

Passo 3

Vamos completar os quadrados para analisar a equação:
x^2 - 2x + y^2 + 2y + 1 = 0
Para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + 1 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 - 1 = 0 (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1
Então, a curva C é um círculo de raio 1, centrado em (1, -1) no plano z = x^2 + y^2.

Passo 4

Agora que sabemos que C é um círculo de raio 1 centrado em (1, -1), vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo da integral.
A parametrização padrão para um círculo no plano é:
x = h + r cos theta y = k + r sin theta
Onde (h, k) é o centro e r é o raio. No nosso caso:
x = 1 + cos theta y = -1 + sin theta
Como z = x^2 + y^2, substituímos x e y:
z = (1 + cos theta)^2 + (-1 + sin theta)^2 z = 1 + 2cos theta + cos^2 theta + 1 - 2sin theta + sin^2 theta z = 2 + 2cos theta - 2sin theta + (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
z = 3 + 2cos theta - 2sin theta
Portanto, a parametrização completa da curva C fica:
r(theta) = lang<= 1 + cos theta, , -1 + sin theta, , 3 + 2cos theta - 2sin theta rang<=
Onde theta varia de 0 a 2pi para percorrer todo o círculo, mas como vamos do ponto (2, -1, 5) para (0, -1, 1), vamos considerar theta de 0 a pi.

Passo 5

Agora, vamos calcular d r, que é a derivada da parametrização em relação a theta:
drdtheta = lang<= -sin theta, cos theta, -2sin theta - 2cos theta rang<=
Então, d r = drdtheta dtheta = lang<= -sin theta, cos theta, -2sin theta - 2cos theta rang<= dtheta.

Passo 6

Vamos agora substituir a parametrização na integral de linha:
integralC F cdot d r = integraltheta=0^pi F(r(theta)) cdot drdtheta dtheta
Primeiro, calculamos F(r(theta)):
F(x, y, z) = z i + x j F(r(theta)) = (3 + 2cos theta - 2sin theta) i + (1 + cos theta) j
Então, o produto escalar F cdot d r é:
(3 + 2cos theta - 2sin theta)(-sin theta) + (1 + cos theta)(cos theta) + 0 cdot (-2sin theta - 2cos theta)
Simplificando:
-3sin theta - 2cos theta sin theta + 2sin^2 theta + cos theta + cos^2 theta

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo de theta = 0 a theta = pi:
integral0^pi (-3sin theta - 2cos theta sin theta + 2sin^2 theta + cos theta + cos^2 theta) dtheta
Vamos dividir essa integral em partes mais simples:
  1. integral0^pi -3sin theta , dtheta
  2. integral0^pi -2cos theta sin theta , dtheta
  3. integral0^pi 2sin^2 theta , dtheta
  4. integral0^pi cos theta , dtheta
  5. integral0^pi cos^2 theta , dtheta
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Resolvendo cada integral:
  1. integral0^pi -3sin theta , dtheta = 3cos theta |0^pi = 3[cos pi - cos 0] = 3[-1 - 1] = -6
  2. integral0^pi -2cos theta sin theta , dtheta
    Aqui, usamos a substituição:
    Deixe u = cos theta, então du = -sin theta dtheta
    A integral se torna:
    -2 integral u , du = -2 cdot u^22 = -u^2 |0^pi = -cos^2 pi + cos^2 0 = -1 + 1 = 0
  3. integral0^pi 2sin^2 theta , dtheta
    Usamos a identidade trigonométrica:
    sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
    Então:
    2 integral 1 - cos 2theta2 dtheta = integral (1 - cos 2theta) dtheta = theta - sin 2theta2 |0^pi = pi - 0 = pi
  4. integral0^pi cos theta , dtheta = sin theta |0^pi = sin pi - sin 0 = 0 - 0 = 0
  5. integral0^pi cos^2 theta , dtheta
    Usamos a identidade trigonométrica:
    cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
    Então:
    integral 1 + cos 2theta2 dtheta = 12 integral (1 + cos 2theta) dtheta = theta2 + sin 2theta4 |0^pi = pi2 + 0 = pi2

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais:
-6 + 0 + pi + 0 + pi2 = -6 + 3pi2
Então, a integral de linha integralC F cdot d r é igual a -6 + 3pi2.

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale -6 + dfrac3pi2.

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