Calcule as integrais indefinidas utilizando as substituições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos usar o método de substituição, onde já nos dão
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição em integrais e como derivar expressões com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
. Mas para fazer a substituição completa, precisamos expressar
em termos de
. Então, vamos derivar
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, queremos isolar $ \sqrt{x} , dx $ para substituir na integral. Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Substituímos agora na integral original:
Podemos fatorar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Para resolver
, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão:
Então, substituímos na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.