Calcule as integrais indefinidas utilizando as substituições dadas.
integral raizx cdot sen^2(x^3 / 2-1) d x, u=x^3 / 2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de raizx cdot sin^2(x^3/2 - 1) em relação a x. Para isso, vamos usar o método de substituição, onde já nos dão u = x^3/2 - 1. Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição em integrais e como derivar expressões com potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir u = x^3/2 - 1. Mas para fazer a substituição completa, precisamos expressar dx em termos de du. Então, vamos derivar u em relação a x:
dudx = 32 x^1/2
Isso significa que:
du = 32 raizx , dx

Passo 3

Agora, queremos isolar $ \sqrt{x} , dx $ para substituir na integral. Dividindo ambos os lados por raizx , dx :
32

Passo 4

Substituímos agora na integral original:
integral raizx cdot sin^2(x^3/2 - 1) dx = integral sin^2(u) cdot 23 du
Podemos fatorar a constante 23 para fora da integral:
23 integral sin^2(u) , du

Passo 5

Para resolver integral sin^2(u) , du, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Então, substituímos na integral:
23 integral 1 - cos(2u)2 , du = 23 cdot 12 integral (1 - cos(2u)) , du = 13 integral (1 - cos(2u)) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral 1 , du = u
integral cos(2u) , du = sin(2u)2
Então:
13 ( u - sin(2u)2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos u = x^3/2 - 1 de volta na expressão:
13 ( x^3/2 - 1 - sin(2(x^3/2 - 1))2 ) + C
Podemos simplificar um pouco:
13 (x^3/2 - 1) - 16 sin(2x^3/2 - 2) + C

Resposta

A integral é igual a 13 (x^3/2 - 1) - 16 sin(2x^3/2 - 2) + C, onde C é a constante de integração.

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