Seja r a função definida por
r(t)=(t, 2 raiz2 e^t / 2, e^t)
onde t é medido em segundos, e as coordenadas de r(t) são medidas em metros. O homem aranha parte do ponto (0,2 raiz2, 1) e ocupa a posição r(t) no instante t. Sabendo que o vilão está na superfície de equação
x+ln (y2 raiz2)+ln (z)=10
e ao encontrá-lo o homem aranha dispara uma teia retilínea tangente a sua trajetória, em qual ponto da parede (plano x z) a teia toca?

Passo 1

A questão dá a curva paramétrica r(t)=(t,2raiz2e^t/2,e^t) e a superfície definida por x+lnl(tfrac y2raiz2r)+ln(z)=10. Precisamos achar o instante t0 em que r(t0) está nessa superfície, depois montar a reta tangente à curva em t0 e, por fim, encontrar onde essa reta cruza o plano y=0 (o plano xz).

Passo 2

Para achar t0, substituímos x=t, y=2raiz2e^t/2 e z=e^t na equação da superfície:
t+lnl(2raiz2e^t/22raiz2r)+ln(e^t)=10
Simplificando, ln(e^t/2)=t/2 e ln(e^t)=t, então
t+ t2+t=10Longrightarrow5t2=10Longrightarrow;t0=4,
O ponto de encontro é r(4)=(4,2raiz2e^2,e^4).

Passo 3

Agora calculemos o vetor tangente r'(t)=(1,raiz2e^t/2,e^t). Em t=4 vem r'(4)=(1,raiz2e^2,e^4).
A reta tangente tem equação vetorial
L(s)=r(4)+s,r'(4)=(4,2raiz2e^2,e^4)+s(1,raiz2e^2,e^4),

Passo 4

Para achar a interseção com o plano y=0, impomos
y(s)=2raiz2e^2+s,raiz2e^2=0Longrightarrow s=-2,
Substituindo s=-2 em L(s) obtemos
L(-2)=(4,2raiz2e^2,e^4)-2(1,raiz2e^2,e^4)=(2,0,-e^4),

Resposta

(2,0,-e^4)

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