1. Seja uma função f(x) definida sobre o seguinte conjunto de pontos:
x_{i} 0 0.6 1,6
y_{i} 0,2969 0,2725 0,2074
(c) Estime o valor de f(1).

Passo 1

O enunciado dá três pontos da função f:
(x_0,y_0)=(0,\,0,2969),\qquad (x_1,y_1)=(0,6,\,0,2725),\qquad (x_2,y_2)=(1,6,\,0,2074).
A pergunta é: estimar o valor de f(1).

Passo 2

Escolha do método. Como temos três pontos distintos, uma escolha natural é interpolar por um polinômio de grau no máximo 2 (quadrático) que passa exatamente por esses três pontos e então avaliar esse polinômio em x=1. Isso é razoável porque x=1 está dentro do intervalo entre x_0=0 e x_2=1,6 (interpolação, não extrapolação). Vou usar a forma de Newton com diferenças divididas — é direta para construir o polinômio a partir dos pontos dados.

Passo 3

Apresentação rápida da fórmula de Newton (didática). O polinômio de grau \le 2 na forma de Newton é
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1),
onde
f[x_i]=y_i,
f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i},
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Aqui f[x_i,x_j] é a diferença dividida de primeira ordem entre os pontos x_i e x_j, e f[x_i,x_j,x_k] é a diferença dividida de segunda ordem. Essas quantidades servem como coeficientes do polinômio em base Newton.

Passo 4

Coeficiente constante:
f[x_0]=y_0=0,2969.

Passo 5

Cálculo das diferenças divididas de primeira ordem.
Primeira:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{0,2725-0,2969}{0,6-0}.
Calcular o numerador:
0,2725-0,2969=-0,0244.
Dividindo:
f[x_0,x_1]=\frac{-0,0244}{0,6}=-0,040666\overline{6}\approx-0,0406667.
Segunda:
f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0,2074-0,2725}{1,6-0,6}.
Numerador:
0,2074-0,2725=-0,0651.
Denominador:
1,6-0,6=1,0.
Logo
f[x_1,x_2]=\frac{-0,0651}{1,0}=-0,0651.

Passo 6

Cálculo da diferença dividida de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-0,0651-(-0,0406667)}{1,6-0}.
Subtração no numerador:
-0,0651-(-0,0406667)=-0,0244333\ldots \approx -0,0244333.
Dividindo pelo denominador 1,6:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-0,0244333}{1,6}\approx -0,0152708.

Passo 7

Escrever o polinômio P_2(x) com os coeficientes calculados:
P_2(x)=0,2969+(-0,0406667)(x-0)+(-0,0152708)(x-0)(x-0,6).

Passo 8

Avaliar em x=1. Calcular cada termo separadamente.
Termo constante:
T_0=0,2969.
Termo linear:
T_1=f[x_0,x_1](1-0)=-0,0406667\cdot 1=-0,0406667.
Termo quadrático:
T_2=f[x_0,x_1,x_2](1-0)(1-0,6)=-0,0152708\cdot 1\cdot 0,4.
Multiplicando:
-0,0152708\cdot 0,4=-0,00610832\\ (\text{aprox. }-0,0061083).

Passo 9

Somar os termos para obter P_2(1):
P_2(1)=T_0+T_1+T_2=0,2969-0,0406667-0,0061083.
Realizando a soma:
P_2(1)\approx 0,2501250\\ (\text{aprox. }0,250125).

Resposta

0,250125

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