números primos (números que têm como divisores somente o 1 e ele mesmo). Durante as tentativas, uma das funções encontradas foi f(n)=n^{2}-n+41.
nte: elaborado com base em EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 623.
13. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA No decorrer da História da Matemática, estudiosos tentaram, sem sucesso, encontrar uma função que para todo inteiro positivo n fornecesse sempre
a. Calcule f(1), f(2), f(5), f(10), f(11) e f(41).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(n)=n^{2}-n+41
e pede para calcular os valores f(1),\;f(2),\;f(5),\;f(10),\;f(11) e f(41). Estas são as únicas informações relevantes: a fórmula da função e os valores de n para os quais devemos avaliar essa fórmula.

Passo 2

Como calcular f(n): a regra é substituir o número dado no lugar de n e seguir a ordem das operações aritméticas (potência, multiplicação/divisão, adição/subtração). Ou seja, para cada n primeiro calcular n^{2}, depois subtrair n e por fim somar 41.
Exemplo genérico:
f(n)=n^{2}-n+41 \quad\Rightarrow\quad f(n)=\bigl(\text{calcule }n^{2}\bigr)-n+41.
Agora aplicamos isso para cada valor pedido, detalhando as contas.

Passo 3

Cálculo de f(1).
Substituindo n=1:
f(1)=1^{2}-1+41.
Calculando passo a passo:
1^{2}=1, \qquad 1-1=0, \qquad 0+41=41.
Logo
f(1)=41.

Passo 4

Cálculo de f(2).
Substituindo n=2:
f(2)=2^{2}-2+41.
Calculando passo a passo:
2^{2}=4, \qquad 4-2=2, \qquad 2+41=43.
Logo
f(2)=43.

Passo 5

Cálculo de f(5).
Substituindo n=5:
f(5)=5^{2}-5+41.
Calculando passo a passo:
5^{2}=25, \qquad 25-5=20, \qquad 20+41=61.
Logo
f(5)=61.

Passo 6

Cálculo de f(10).
Substituindo n=10:
f(10)=10^{2}-10+41.
Calculando passo a passo:
10^{2}=100, \qquad 100-10=90, \qquad 90+41=131.
Logo
f(10)=131.

Passo 7

Cálculo de f(11).
Substituindo n=11:
f(11)=11^{2}-11+41.
Calculando passo a passo:
11^{2}=121, \qquad 121-11=110, \qquad 110+41=151.
Logo
f(11)=151.

Passo 8

Cálculo de f(41). Aqui vale fazer uma observação algébrica útil.
Substituindo n=41:
f(41)=41^{2}-41+41.
Note que -41+41=0, portanto
f(41)=41^{2}.
Como 41^{2}=41\cdot41=1681, temos
f(41)=1681.
Observação rápida: como f(41)=41^{2} é múltiplo de 41 e maior que 41, esse valor não é primo (é composto).

Resposta

f(1)=41
f(2)=43
f(5)=61
f(10)=131
f(11)=151
f(41)=1681

Exercícios relacionados